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MODELOS DE PROBABILIDADES DE TIPO DISCRETO

Describen el comportamiento probabilístico de una o más variables aleatorias  y se define como una función de probabilidad.

FORMA GENERAL    f (  va ; parámetro )  = expresión matemática[pic 1]

MODELO PROBABILÍSTICO

CARACTERÍSTICAS

PARÁMETROS

SINTAXIS

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

VALOR ESPERADO Y VARIANZA

FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS

FGM MX(t)[pic 2]

EJEMPLO

• BERNOULLI

   ( o distribución  

     dicotómica)

1. El experimento consiste en un único ensayo.
2. Cada ensayo termina en un resultado que se puede clasificar generalmente  como “éxito  o fracaso.
3. La probabilidad de éxito se denota como p  y la probabilidad de fracaso  como q= 1 – p
4. Las observaciones son independientes, la probabilidad de “éxito” es siempre la misma, no se modifica.
5. La v.a  X quedará definida como:

[pic 3]

Y se le conoce como variable aleatoria Bernoulli

p

X  be( x; p)[pic 4]

 , x = 0 , 1[pic 5]

 =   0 , en otro caso

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Evaluar la probabilidad de que las ventas en una empresa se puedan lograr  este mes.

• BINOMIAL

1. Consta de n ensayos repetidos.
2. Los n ensayos son independientes.
3. Cada ensayo termina en un resultado que se puede clasificar generalmente  como “éxito”  o “fracaso”.
4. La probabilidad  p de “éxito”  en un ensayo es siempre la misma a lo largo de todo el experimento.
5. La v.a  X que cuenta el número de aciertos en n ensayos  quedará  definida como               x = 0,1,2,3…..n  , y se le conoce como variable aleatoria binomial.

El nombre de la distribución binomial se deriva de que los valores de   b(x;n,p)  para           x= 0,1,2,…..n son los términos sucesivos de la expansión binomial   ( q + p )n

n y p

X  b( x; n,p)[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

            =    O,  en otro caso

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Evaluar la probabilidad de que en una muestra  de 5 baterías seleccionadas  al azar, exactamente 3 de ellas  estén defectuosas

• BINOMIAL NEGATIVO

      ( o distribución de

        Pascal)

1. Consta de n ensayos repetidos.
2. Los n ensayos son independientes.
3. Cada ensayo termina en un resultado que se puede clasificar generalmente  como “éxito”  o “fracaso”.
4.  La probabilidad  p de “éxito”  en un ensayo es siempre la misma a lo largo de todo el experimento.
5. El experimento termina cuando se halla alcanzado un número fijo de k éxitos.
6. La v.a  X  que cuenta el número de ensayos requeridos para alcanzar un número fijo de k éxitos  quedará definida como  

x = k , k+1 , k+2, k+3…  y se le conoce como variable aleatoria binomial negativa.

El nombre de la distribución binomial  negativa se deriva de que los valores de   bn(x;k,p)  para x== k , k+1 , k+2,.. son los términos sucesivos  de la expansión binomial  [pic 15]

k y p

X  bn( x; k,p)[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

         =    O,  en otro caso

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

Se hace una encuesta  para introducir un nuevo producto para el aseo personal. Se desea conocer la probabilidad de que la séptima persona encuestada sea la tercera  en estar interesada en el nuevo producto.

• GEOMÉTRICO

1. Consta de n ensayos repetidos.
2. Los n ensayos son independientes.
3. Cada ensayo termina en un resultado que se puede clasificar generalmente  como “éxito”  o “fracaso”.
4. La probabilidad  p de “éxito”  en un ensayo es siempre la misma a lo largo de todo el experimento.
5. El experimento termina cuando se halla alcanzado el primer éxito.
6. La v.a  X  que cuenta el número de ensayos requeridos para alcanzar  el  primer éxito   quedará definida como   x = 1,2,3  y se le conoce como variable aleatoria geométrica.

Se puede observar que el modelo geométrico es un caso especial del modelo binomial negativo, en el cual su parámetro K = 1.

El nombre de la distribución geométrica  se deriva de la progresión geométrica que se obtiene para los valores de

g(x;1,p)  para x = 1 le corresponde una probabilidad  igual a p,

para x = 2 le corresponde una probabilidad  igual a  p*q,

para x = 3 le corresponde una probabilidad de igual a p*q2,

para x = 4 le corresponde una probabilidad igual a p*q3  , y así sucesivamente.

p

X  g( x; p)[pic 22]

[pic 23]

, si x = 1,2,3…

                 =    O,  en otro caso

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

Se hace una encuesta para introducir un nuevo producto para el aseo personal. Se desea conocer la probabilidad de que la séptima persona encuestada sea la primera   en estar interesada en el nuevo producto.

• HIPERGEOMÈTRICO

1. Tiene un conjunto original de N elementos, de los cuales K pueden ser considerados “éxitos”, y   N- K  como “fracasos”.
2. La selección de n elementos  a partir de N  se realiza sin reemplazo o simultáneamente.
3. Los  n ensayos no son independientes.
4. La probabilidad de  “éxito”, varia  de uno a otro ensayo.
5. La v.a  X que cuenta el número de aciertos en n ensayos  quedará  definida como x = 0,1,2,3…..n  , y se le conoce como variable aleatoria hipergeométrica.

   APROXIMACIÓN DEL MODELO HIPERGEOMÉTRICO POR EL MODELO BINOMIAL[pic 27]

Si  n es relativamente pequeña respecto a N , la probabilidad para cada ensayo cambia sólo ligeramente . En este caso los resultados del modelo hipergeométrico  pueden aproximarse por el modelo binomial. La aproximación resulta adecuada cuando n < 5% N.

Mediante los teoremas de límites , se logra demostrar que la función de probabilidad hipergeométrica converge   hacia la función de probabilidad binomial  conforme [pic 28]

Entonces, si   n < 5% N

[pic 29]

N , K, n

X  h( x; K,N,n)[pic 30]

[pic 31]

                       , si x = 0,1, 2….n

= 0, en otro caso

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

De una población de 150 empresas del sector manufacturero, se sabe que 130 son  clasificadas  en PYMES. Al  seleccionar una muestra aleatoria de 20 empresas, sin reemplazo, qué tan probable es que exactamente 8 sean PYMES.

• POISSON

1. El número de sucesos de un evento de interés en un intervalo de tiempo o región  Ii es independiente del número de ocurrencias en otro intervalo o región Ik , por lo que              Ii Ik [pic 35][pic 36]
2. La probabilidad de una sola ocurrencia del evento de interés en un intervalo corto de tiempo o una región pequeña del espacio es proporcional a la longitud de ese intervalo o tamaño de la región, y es igual para todos los intervalos o regiones de igual tamaño.
3. La probabilidad de más de una ocurrencia en ese intervalo corto o región pequeña es despreciable.
4. La probabilidad de que se tengan dos o más éxitos en el mismo punto del intervalo o región del espacio  es cero.
5. El número promedio de éxitos en un intervalo o región es una constante (letra griega “lambda”)  que no cambia de intervalo a intervalo o de región a región.[pic 37]
6. Si la longitud del intervalo o región cambia, entonces   cambia proporcionalmente.[pic 38]
7. La v.a  X  que  cuenta el número de ocurrencias del evento en un intervalo o región quedará definida como  x = 0, 1,2,………, y se le conoce  como variable aleatoria de Poisson.

Obsérvese que la variable aleatoria puede tomar un número infinito numerable (contable) de valores.

CONVERGENCIA DE LA DISTRIBUCIÒN BINOMIAL A LA DISTRIBUCIÒN DE POISSON[pic 39]

Mediante los teoremas de límites  

se logra probar que la distribución

binomial tiende a converger a la

distribución de Poisson cuando   y el parámetro  , de [pic 40][pic 41]

manera que el producto n*p  sea

una constante. De ocurrir esto, la

distribución binomial tiende a un

modelo de Posson con parámetro [pic 42][pic 43]

Por tanto,

[pic 44]

La aproximación resulta adecuada

bajo los criterios  de  n   y            [pic 45]

 p < 5%

[pic 46]

X  [pic 47][pic 48]

[pic 49]

              ,  si x= 0,1,2…

= 0 , en otro caso

  e= 2.718281828

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

Si  a un cajero electrónico ingresan, en promedio, 5 clientes cada 30 minutos, entonces podemos evaluar la probabilidad de que en un intervalo cualquiera de 30 minutos, ingresen máximo dos clientes.