Complejos

11.1 RECORRIDO HISTÓRICO

Los números complejos son el siguiente eslabón o paso en la cadena numérica que a través de su historia el hombre pensante ha ido creando, comenzando con los números naturales, continuando con los enteros y así sucesivamente hasta llegar a los complejos, como se describe a continuación.

11.1.1 LOS NÚMEROS NATURALES

El primer sistema de numeración que el hombre inventó fue el de los números naturales, o sea los enteros positivos: N = {1, 2, 3, 4, 5, ..., }. ∞

Resulta elemental que no pudo suceder de otra manera, ya que, por una parte, los demás sistemas de numeración tienen como base a éste o a otros antecesores, pero el sistema de números naturales no tiene antecesor; por otra parte, resulta también muy obvio que lo primero que tuvo necesidad de contar el hombre fueron cosas enteras, como, por ejemplo, cuántas vacas tenía, o cuántos dedos había en su mano, o cuántos hijos tenía, etc. Por esa razón, ya que el invento de estos números se dio en forma natural o espontánea, su sistema ha sido bautizado como el de "los naturales".

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Los números enteros surgieron por la necesidad de y para dar solución a las restas de un número natural menos otro mayor que el primero.

Así, pues, lo primero que tuvo necesidad el humano respecto de los números fue simplemente contar. De hecho, los inventó para eso, para contar en forma directa. Pero en su proceso histórico de evolución surgieron hombres inteligentes que no se conformaron con eso, sino que captaron la posibilidad de hacer cuentas también con esos números inventados inicialmente para contar nada más.

La primera operación inventada fue la suma. El gran problema del hombre en todas las épocas frente a sus números, o sea con los números hasta entonces conocidos, ha sido que al inventar operaciones con ellos a veces se pueden efectuar y a veces no, lo que indica que la deficiencia está en el sistema de núme- ros, no en la operación misma. Dicho en otras palabras, cuando hay cuentas que no puede el humano efectuar sin que se haya caído en lo absurdo es que le faltan números por conocer, dentro de los cuales están las soluciones de lo que en ese instante no puede obtener.

Cuando el hombre apenas había inventado los números naturales y las operaciones básicas, se topó algún día con lo dicho en el párrafo anterior, es decir que ciertas cuentas no podía efectuarlas porque no había números, dentro de los que conocía, que fueran su solución.

Así, por ejemplo, para hacer 3 + 5 no había problema, pues el resultado era uno de los números que conocía, en este caso el 8. De igual forma, para hacer la resta 14 - 10 fácilmente encontraba en el número 4 (que era parte de su numeración) la respuesta. Sin embargo, cuando por primera vez se planteó 2 - 9 se encontró en serios aprietos para dar contestación, pues ninguno de los números que hasta entonces maneja- ba eran solución a esa operación. Ténganse en cuenta que hoy sabemos que es - 7 porque conoce- 29 − mos los números negativos, pero cuando hablamos de que la humanidad apenas iba en los números naturales, ese número negativo no existía, por lo tanto no se podía ni siquiera pensar en él.

Esto le hizo ver a los pensantes de aquellas épocas que había alguna falla, ya fuera en la cuenta misma o en el sistema de numeración. Y la conclusión fue que la deficiencia estaba en éste último. Inventó entonces el hombre más números: ¿cuáles?, aquellos que solucionaran las restas a las que no podía hallarles respuesta. De manera que a los números conocidos les agregó los negativos llegando histórica- mente al sistema de los números enteros

11.1.2 LOS NÚMEROS ENTEROS

El sistema de los números enteros es { , ... , -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } − ∞ ∞

Con los números enteros ya se podía efectuar cualquier resta, pues ahora 4 - 20 encontraba su solución en el número - 16 ya conocido. Sin embargo, volvieron a aparecer deficiencias al haber operaciones que mientras unas sí podían efectuarse, otras no. Era el caso, por ejemplo, de la división 30 ÷ 5 que tenía su

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Los números racionales surgieron por la necesidad de y para dar solución a las divisiones de un número entero entre otro entero no submúltiplo del primero.

Los números irracionales surgieron por la necesidad de y para dar solución a las raíces no exactas.

solución en el número 6 ya conocido; pero en cambio divisiones del tipo 26 ÷ 7 eran insolubles, ya que ningún número de los conocidos hasta ese momento eran su respuesta.

Volvió a repetirse el proceso: aquello era un indicativo de que el sistema de numeración conocido o empleado era deficiente, o sea, le faltaban números. Se inventaron entonces aquellos que dieran respuesta a las divisiones del tipo del ejemplo anterior. Así se llegó al sistema de los números racionales (aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros). De manera que la división 26 ÷ 7 encontró solución.

11.1.3 LOS NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales son

a

xx

b ⎧⎫ = ⎨⎬ ⎩⎭

Debe entenderse que "inventar números" en este proceso histórico significa -o significó- agregarle otros a los ya conocidos, pero nunca eliminar los conocidos para sustituirlos por otros nuevos. Y ese "agregar" fue siempre en función de la operación que no podía dar solución.

Algo que no se ha vuelto a mencionar es que junto con los números el hombre fue creando operaciones que realizar con ellos. De manera que al seguir inventando cuentas algún día se le ocurrió la raíz cuadrada. Su definición apareció a partir del inverso de la multiplicación de un número por sí mismo. De manera que si de 6 6 obtenía 36 , resultaba inicialmente muy simple que la raíz cuadrada de 36 fuese 6 . ×

Sin embargo, de manera semejante a las operaciones descritas en los párrafos anteriores, algún día debió preguntarse: ¿Y la raíz cuadrada de 32 cuánto es?. Y no halló respuesta, porque dentro de los números conocidos hasta ese momento (los racionales, o sea los escritos como el cociente dos enteros), no había ninguno que elevado al cuadrado diera 32 . Y volvió a repetirse la historia: ¡faltaban números a su sistema conocido!.

11.1.4 LOS NÚMEROS IRRACIONALES

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Los números complejos surgieron por la necesidad de y para dar solución a las raíces cuadradas negativas.

Inventó ahora los irracionales, entre los que están principalmente todas las raíces (cuadradas, cúbicas, cuartas, etc.) no exactas. Con esos nuevos números ya se tenían respuestas a , o bien . 17 88

La

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