Conjuntos Ortogonales Y Serie DeFourier

5.2.- CONJUNTOS ORTOGONALES Y CONJUNTOS ORTONORMALES.

Las series de Fourier son ejemplos de desarrollos ortogonales. Un conjunto de funciones {f_n (x) } n^∞=1 es un sistema ortogonal con respecto de la función ponderación no negativa w(x) en el intervalo [a,b] si:

∫_a^b▒〖 [fm(x)fn(x)w(x)dx=0.]〗 ,siempre que m≠0

Como hemos visto el conjunto de funciones trigonométricas:

1,cosw0t,cos2w0t,cos3w0t,...,senw0t,sen2w0t,sen3w0t,...

(para cualquier valor de w0=2p/T).

Es ortogonal en [–π,π] con respecto de la función de ponderación w(x)=1. Si definimos la norma de f como:

‖f‖=[(∫_a^b▒〖f^2 (x)w(x)dx〗= ]^(1/2)

Entonces decimos que un conjunto de funciones {fn(x) } n^∞=1 (O {fn(x)} N/n=1) es un sistema ortonormal con respecto de w(x) si se cumple ∫_a^b▒〖[fm(x)fn(x)w(x)dx〗 =0.], y además ‖f‖=1 para cada n.

En forma equivalente decimos que el conjunto es un sistema ortonormal si:

∫_a^b▒〖[fm(x)fn(x)w(x)dx〗 =0] {(0 ,m≠n)/(1,m=n)

Siempre podemos obtener un sistema ortonormal a partir de un sistema ortogonal, dividiendo cada función entre su norma. En particular como:

∫_(-π)^π▒cos²nxdx = ∫_(-π)^π▒〖sen^2 nxdx〗 = π, n=1,2,3…

Y ∫_(-π)^π▒〖1 dx〗=2π

Entonces el sistema ortogonal 1,cosw0t,cos2w0t,cos3w0t,...,senw0t,sen2w0t,sen3w0t,...

da lugar en [–π,π] al sistema ortonormal:

{(2π)^(-1/2),π^(-1/2) cos⁡ [x,] π^(-1/2) sen x,π^(-1/2) cos⁡ [2x,π^(-1/2) sen 2x,…] }

5.3.- SERIE DE FOURIER.

Las series de Fourier surgieron históricamente al resolver por el método de separación de variables un problema de contorno de ecuaciones en derivadas parciales. Cuando estas formulas fueron propuestas por Daniel Bernoulli en 1753 muchos matemáticos pensaron que era imposible expresar una función f(x) cualquiera como suma de senos y cosenos. Fue un ingeniero, Joseph Fourier, el que se encargo de recopilar datos para convencer al mundo científico de tal posibilidad.

Definición: Se llama serie de Fourier de una función f(x) en el intervalo [a,b] a

f(x)=a_0/2+∑_(n=1)^∞▒〖(a_n cos⁡〖nπ/((b-a)/2) x〗+b_n sen⁡〖nπ/((b-a)/2) x〗)〗

Donde a_0=2/(b-a) ∫_a^b▒f(x)dx a_n=2/(b-a) ∫_a^b▒f(x) cos⁡〖2nπ/(b-a) x dx〗

b_n=2/(b-a) ∫_a^b▒〖f(x)〗 sen 2nπ/(b-a) x dx

Las series anteriores también se podrían haber escrito de la forma:

f(x)~C_0+∑_(n=1)^∞▒〖C_n cos⁡〖(nω_o t-θ_n)〗 〗

Donde C_n= √(a_n^2+b_n^2 ), cos⁡〖θ_n 〗=a_n/√(a_n^2+b_n^2 ) sen θ_n=b_n/√(a_n^2+b_n^2 ) θ_n=arctang b_n/a_n

Siendo ω_0=1,π/L,2π/(b-a) según hayamos utilizado una de las tres formulas anteriores.

La componente sinusoidal de frecuencia ω_n=nω_0 se denomina la enésima armónica de la función periódica. La primera armónica se conoce comúnmente con el nombre de fundamental porque tiene el mismo periodo que la función y ω_0=2π/T se conoce con el nombre de frecuencia angular fundamental. Los coeficientes C_n y los angulos θ_n se conocen como amplitudes armónicas y ángulos de fase, respectivamente.

CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER.

Teorema. (Teorema de convergencia puntual para series de Fourier).

Si f(x)" y " f^' (x) son continuas a trozos en [-L,L], entonces ∀x ∈(-L,L) se verifica:

a_0/2+∑_(n=1)^∞▒〖(a_n 〗 cos⁡〖nπ/L〗 x+b_n sen nπ/L x)=1/2[f(x^+ )+f(x^-)]

Para x=±L la serie de Fourier converge a 1/2[f(-L^+ )+f(L^-)]

Teorema. (Teorema de convergencia uniforme de series de Fourier).

Sea f(x)una funcion continua en (-∞,∞) y con periodo 2L.Si f^' (x)es continua

a trozos en [–L,L],entonces la serie de Fourier de f(x)converge uniformemente

a f(x)en [–L,L] y por consiguiente en cualquier intervalo.

FUNCIONES PERIÓDICAS.

Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente propiedad para todo valor de t.

f(t)=f(t+T)

A la constante mínima para la cual se cumple lo anterior se le llama el periodo de la función

Repitiendo la propiedad se puede obtener:

f(t)=f(t+nT),donde n=0,±1,± 2,±3,...

Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier

f(t) = ½ a_0 + a_1 cos(w_0 t)+a_2 cos(2w_0 t)+... + b_1 sen(w_0 t)+b_2 sen(2w_0 t)+...

Donde w_0=2p/T.

Es decir, f(t)=1/2 a_0+∑_(n=1)^∞▒〖[a_n cos⁡〖(nω_0 t)+b_n sen (〗 nω_0 t)]〗

Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el término a_n cos(nw_0 t)+b_n sen(nw_0 t)puede escribir como

√(a_n^2+b_n^2 )[a_n/√(a_n^2+b_n^2 ) cos⁡(nω_0 t)+b_n/√(a_n^2+b_n^2 ) 〖sen 〗⁡(nω_0 t)]

Serie Trigonométrica de Fourier: f(t)=C_0+∑_(n=1)^∞▒〖c_n [cos⁡〖(nω_0 t-θ_n)〗]〗

Así C_n= √(a_n^2+b_n^2 ), θ_n=arctang b_n/a_n

FUNCIONES PAR E IMPAR.

Definición (Función par, función impar)

Decimos que una función f(x) es par si f(-x)=f(x)

Decimos que una función f(x) es impar si f(-x)=-f(x)

Propiedades:

El producto de dos funciones pares es par.

El producto de dos funciones impares es par.

El producto de una función par por una impar es impar.

Si f(x) es par →∫_(-a)^a▒〖f(x)〗 dx=2∫_0^a▒〖f(x)〗 dx

Si f(x) es impar →∫_(-a)^a▒〖f(x)〗 dx=0

DESARROLLO PARA FUNCIONES DEFINIDAS EN MEDIO INTERVALO.

Supongamos que tenemos una función definida en el intervalo [0,L]. Para hallar su desarrollo en serie de Fourier podemos optar por definirla en el intervalo [-L,0] de las siguientes tres formas y obtener distintos desarrollos de Fourier.

Caso 1: Extendemos f(x) al intervalo [-L,0] de forma que obtenga una función

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