Contabilidad

Tema: Muestreo por etapas.

1.- Introducción:

En el tema dedicado a muestreo por conglomerados, la forma de actuar consistía en

investigar (encuestar) a todos los individuos de los clusters o conglomerados seleccionados:

Se hizo notar que aunque el muestreo por conglomerados es económico también es,

habitualmente, menos eficiente que muestrear el mismo número de individuos directamente

de la población.

Conclusión, para mejorar el muestreo por conglomerados, se ganará en precisión si, fijado

un número de unidades que conformen la muestra:

i) Las unidades están localizadas sobre un gran número de conglomerados.

ii) En lugar de tomar todos los individuos del conglomerado, tomar sólo una muestra.

A esta forma de proceder se la denomina actuar por submuestreo y conduce a la siguiente

definición;

Definición:

El muestreo consistente en tomar en una primera etapa conglomerados (unidades

primarias, psu) y a continuación tomar un número específico de unidades de cada

conglomerado seleccionado (unidades secundarias, ssu), se denomomina muestreo

bietápico o en dos etapas.

Conceptos propios de este diseño:

i) Conglomerado último, introducido por Hansen, Hurwitz y Madow (1953),

corresponde al conjunto de individuos de la muestra que pertenecen a una misma

unidad primaria.

Este concepto permite obtener un posible estimador de la varianza del estimador del

parámero de interés considerando el muestreo Multietápico o Polietápico como un caso

especial de muestreo por conglomerados con una sola etapa.

ii) Muestreo

Bietápico: Unidades primarias y secundarias

Multietápico o Polietápico: Unidades primarias, secundarias, .........

Ejemplo Multietápico: ”Producción de un cierto cereal”; Unidades Primarias: Provincias;

Unidades secundarias: Pueblos; Unidades terciarias: Campos de los pueblos dedicados al

cultivo de ese cereal; Unidades de cuarto orden: Pequeñas parcelas del mismo tamaño

dentro de esos campos.

Evolución Histórica; Los pioneros en esta técnica de muestreo fueron Cochran (1939),

Mahalanobis (1940) y Lahiri (1954).

Notación: (Caso bietápico)

psu: Unidades primarias

ssu: Unidades secundarias;

NI : Número de unidades primarias (psu) que conforman la población;

nI : Número de unidades primarias (psu) seleccionadas en la muestra;

Ni : Número de unidades secundarias (ssu) de la i-ésima psu. (Alternativa polietápica

NIIi)

ni : Número de unidades secundarias (ssu) de la i-ésima psu tomadas en la muestra.

(Alternativa polietápica nIIi);

N 

NI

i1

Σ Ni : Número total de unidades secundarias (ssu) en la población; (Alternativa

polietápica NII);

M N

NI : Número medio de ssu por psu;

1

yij : Valor de la variable de interés medida en la j-ésima ssu de la i-ésima psu

yij i1,...,NI

j1,...,Ni

i 

Ni

j1

Σ yij : Total de la variable de interés en la i-ésima psu.

 

NI

i1

Σ i 

NI

i1

Σ

Ni

j1

Σ yij : Total de la variable de interés en la población.

i 

Ni

j1

Σyij

Ni

 i

Ni : Media de la variable de interés en la i-ésima psu.

  1N

NI

i1

Σ Nii : Media poblacional de la variable de interés.

yi 

ni

j1

Σ yij : Total muestral de la i-ésima psu.

y 

nI

i1

Σ yi : Total muestral.

y i  yi

ni : Media muestral de la i-ésima psu.

Ii y Iij : probabilidades de inclusión de las unidades psu con diseño pI;

 ΔIij  Iij − IiIj.

k/i y kl/i : probabilidades de inclusión de las unidades ssu con diseño pi

 Δkl/i  kl/i − k/il/i

Conclusión: La población U  1, . . . ,N es particionada en subpoblaciones, unidades psu,

U1, . . . ,UNI, U 

NI

i1

 Ui; Cada conglomerado Ui está compuesto por Ni unidades ssu /

N 

NI

i1

Σ Ni; Por tanto, la población de psu se denomina UI  1, . . . ,NI.

2.- Caso Bietápico General.

Situación:

1ª Etapa: Se toma una muestra sI de psu de acuerdo a un diseño pI; sI  nI

2ª Etapa: Para cada i ∈ sI se toma una muestra de si elementos utilizando un diseño

pi/sI ; si  ni

La muestra final de individuos está compuesta por s 

i∈sI

 si ; s  n.

Observaciones:

i) La formulación del diseño permite utilizar cualquier diseño en la 1ª etapa y cualquier

diseño de submuestreo en la 2ª etapa ∀i ∈ sI.

ii) El submuestreo en cada Ui i∈sI podría depender de la muestra sI obtenida en la primera

etapa.

iii) El submuestreo en Ui no es necesariamente independiente del submuestreo en Uj

i ≠ j.

Los apartados ii) y iii) van a conducir a la necesidad de exigir de ahora en adelante dos

propiedades en nuestro diseño, invarianza e independencia.

Conceptos:

i) Invarianza:

pi/sI   pi ∀sI y ∀i ∈ sI  Siempre que la i-ésima psu se incluya en sI se debe usar el

mismo diseño pi.

Ejemplo: Prerequerir que siempre que se incluya la i-ésima psu en sI, se tome una m.a.s. de

2

ni unidades de Ui sin atender que otras psu conforman sI.

ii) Independencia:

pi

i∈sI

 si /sI 

i∈sI

⊓ pisi/sI ;

i∈sI

 si 

i∈UI

∩ U1 . . . si . . . UNI ; sj  ∅ si j ∉ sI, es

decir, submuestrear en una psu dada es independiente de submuestrear en otra cualquiera

psu.

2.1 Caso General: Muestreo bietápico sin reemplazamiento

El problema que se plantea es obtener, ante las múltiples posibilidades de opción de diseño

en las distintas etapas, las probabilidades de inclusión;

k  Iik/i si k ∈ Ui

kl 

Iik/i si k  l ∈ Ui

Iikl/i si k y l ∈ Ui

Iijk/il/j si k ∈ Ui y l ∈ Uj i ≠ j

-Estimador

...