Contabilidad

Seminario: Paradojas, Circularidad y Universalidad Expresiva.

Argumentos Diagonales:

Eduardo Barrio

Los lenguajes como conjuntos:

Supongamos que queremos tratar a los lenguajes formales como conjuntos:

- Si un lenguaje de primer orden (L) puede ser representado como un conjunto, entonces sus componentes (sus fbf) serán elementos de una colección, el tamaño de esa colección será enumerable y sus fórmulas serán objetos sobre los que se puede cuantificar.

A favor de la tesis de los lenguajes como conjuntos:

- El tratamiento conjuntista abre la posibilidad de aritmetizar la lingüística: si L es un conjunto infinito enumerable, cada uno de los elementos puede ser puesto en correspondencia biunivoca con un número natural. Al poner en correlación expresiones de un L con números se garantiza representar las propiedades lingüisticas en términos de números. Y si las fbf pueden verse como números, las operaciones entre fórmulas y sus propiedades pueden verse como opereciones o propiedades entre números.

Aritmetización de los lenguajes:

- Sea S un lenguaje de primer orden en el que se pueda axiomatizar la aritmética.

Por ejemplo, “x  (x = 1 + 1)” es una fbf. Hay ciertas fórmulas especiales, las oraciones, de las cuales tiene sentido preguntar si son demostrables o no lo son (usando los axiomas y las reglas de inferencia de la teoría).

- Toda la sintaxis de S está aritmetizada de forma que a cada expresión y a cada fórmula de S le corresponde un número de Gödel. Sea “«a»” el número de Gödel de a.

- Las fórmulas del lenguaje pueden representarse como objetos (números) sobre los que se puede cuantificar.

- Todos los conceptos metamatemáticos (por ejemplo, “x es demostrable en S”, “la variable x se sustituye por la variable y”) de pueden codificar dentro de S.

- Las fórmulas con una variable libre (como “x es un número par”) son especiales. Se las llama class sign, ya que tan pronto como el dominio sea restringido, se define una clase (la clase de los números…). Se puede decir que ellas codifican o sirven para representar clases de números.

o La idea es simple: la fórmula “F(x)” representa la clase de todos los números n para los cuales F(n) es deducible en S. Tales fórmulas pueden ser ordenadas.

Argumentos Diagonales

El principal intererés filosófico de los argumentos diagonales yace en su vinculación con ciertas restricciones expresivas de los lenguajes.

Dada una lista, una colección de elementos, el método puede ser aplicado a ella para descubrir un conjunto (L) de elementos que no aparece en la lista.

(D) Para cada elemento e de la colección, e está en la lista ssi e no está en la lista.

Teorema de la Diagonal:

Formulación: Sea R una matriz formada por las colecciones D1 y D2 y sea F una relación diagonal sobre D1 y D2. Sea H el contravalor de F. Entonces, H no aparece como una línea de R.

Ejemplos de argumentos diagonales

1) Prueba de Cantor: No hay una correspondencia biunivoca entre los naturales y los reales.

D2

D1

1 2 3 4

E1

9

1

9

9

E2

1

1

9

1

E3

1

9

9

1

E4

9

1

1

1

E5

1

9

9

9

D1 = conjunto de los enteros positivos

D2= conjunto de los reales.

Sea R3 una función que correlaciona biunivocamente elementos de D1 y de D2

R3 (x, y, z) = 1, si el elemento x tiene a 1 en el lugar y

9, si el elemento x tiene a 9 en el lugar y

F3 (x, y, z) = 1, si el elemento x tiene a 9 en el lugar y

9, si el elemento x tiene a 1 en el lugar y

F3 es la antidiagonal.

Queda determinado un elemento de D1 que no está en la correlación inicial. Por eso, la suposición de que hay una correspondencia biunivoca conduce a contradicción.

2) Heterological Paradox:

D2

D1

Monosilabico Polisilábico Largo Nuevo

Monosilabico

F

F

F

F

Polisilábico

V

V

V

V

Largo

V

V

F

F

Nuevo

F

F

F

F

Heterológico?

V

F

V

V

D1 y D2 están compuestos por lon los predicados monádicos del español en el mismo orden.

Tomémos el primer elemento de D1. Su extensión queda definida por el conjunto FFFF…. En particular, él no se aplica a sí mismo (“monosilábico” no es monosilábico).

Cada V en la diagonal corresponde a un predicado que es verdadero de sí mismo.

Cada F en la diagonal corresponde a un predicado que no es verdadero de sí mismo.

Consideremos la antidiagonal compuesta por la secuencia VFVV… Esta diagonal no puede aparecer como una fila de D1

Supongamos que hubiera un predicado del español que fuera verdadero de exactamente aquellos predicados falsos de sí mismos. Entonces, este predicado tendría que aparecer como fila de D1 . Pero, “Heterológico” es heterológico?

Pero el teorema diagonal impide que sea una fila (la extensión de “Heterológico” es la antidiagonal de la matriz y ninguna antidiagonal puede ser parte de D1. Sin embargo este predicado existe en el español. Y por lo tanto, debe ser parte de D1.

3) Paradoja de Russell

D1 = clase propia de todos los conjuntos

D2= clase propia de todos los conjuntos

Sea R3 una función que correlaciona biunivocamente elementos de D1 y de D2

R3 (x, y, z) = 1, si y  x

0, si y  x

F3 (x, y, z) = 1, si x  x

0, si x  x

H3 es la antidiagonal.

H3 (x, y, z) = 0, si x  x

1, si x  x

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