Cálculo como razonamiento y cálculo lógico-matemático

Para otros usos de este término, véase Cálculo (desambiguación).

Para cálculo infinitesimal (diferencial o integral), véase Cálculo infinitesimal.

Para el estudio de los números reales, los complejos, los vectores y sus funciones, véase Análisis matemático.

En general el término cálculo (del latín calculus = piedra)1 hace referencia, indistintamente, a la acción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.

No obstante, el uso más común del término cálculo es el lógico-matemático(es la reformulación de las matemáticas elementales mediante el uso de procesos de límite). Desde esta perspectiva, el cálculo consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos debidamente formalizados y simbolizados, es como una <máquina de límites> que genera fórmulas nuevas a partir de las conocidas. Su estudio implica tres niveles de matemáticas: el pre cálculo (longitud de un segmento recto, área de un rectángulo, etc.) el proceso de límite y nuevas formulaciones en versión de cálculo,(derivadas, integrales etc.)

Índice

• 1 Cálculo como razonamiento y cálculo lógico-matemático

• 2 Historia del cálculo

o 2.1 De la Roma Clásica a la Edad Media

o 2.2 Renacimiento

o 2.3 Siglos XVII y XVIII

o 2.4 Siglos XIX y XX

o 2.5 Actualidad

• 3 Cálculo infinitesimal: breve reseña

• 4 Cálculo lógico

o 4.1 Sistematización de un cálculo de deducción natural

 4.1.1 Reglas de formación de fórmulas

 4.1.2 Reglas de transformación de fórmulas

o 4.2 Esquemas de inferencia

o 4.3 El lenguaje natural como modelo de un cálculo lógico

• 5 Véase también

• 6 Referencias

o 6.1 Bibliografía

o 6.2 Enlaces externos

Cálculo como razonamiento y cálculo lógico-matemático

Ejemplo de aplicación de un cálculo algebraico a la resolución de un problema según la interpretación de una teoría física

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La expresión del cálculo algebraico , indica las relaciones sintácticas que existen entre tres variables que no tienen significado alguno.

Pero si interpretamos como espacio, como velocidad y como tiempo, tal ecuación modeliza una teoría física que establece que el espacio recorrido por un móvil con velocidad constante es directamente proporcional a la velocidad con que se mueve y al tiempo que dura su movimiento.

Al mismo tiempo, según dicha teoría, sirve para resolver el problema de calcular cuántos kilómetros ha recorrido un coche que circula de Madrid a Barcelona a una velocidad constante de 60 km/h durante 4 horas de recorrido.

• 240 kilómetros recorridos = 60 km/h x 4 h

Las dos acepciones del cálculo (la general y la restringida) arriba definidas están íntimamente ligadas. El cálculo es una actividad natural y primordial en el hombre, que comienza en el mismo momento en que empieza a relacionar unas cosas con otras en un pensamiento o discurso. El cálculo lógico natural como razonamiento es el primer cálculo elemental del ser humano. El cálculo en sentido lógico-matemático aparece cuando se toma conciencia de esta capacidad de razonar y trata de formalizarse.

Por lo tanto, podemos distinguir dos tipos de operaciones:

1. Operaciones orientadas hacia la consecución de un fin, como prever, programar, conjeturar, estimar, precaver, prevenir, proyectar, configurar, etc. que incluyen en cada caso una serie de complejas actividades y habilidades tanto de pensamiento como de conducta. En su conjunto dichas actividades adquieren la forma de argumento o razones que justifican una finalidad práctica o cognoscitiva.

2. Operaciones formales como algoritmo que se aplica bien directamente a los datos conocidos o a los esquemas simbólicos de la interpretación lógico-matemática de dichos datos; las posibles conclusiones, inferencias o deducciones de dicho algoritmo son el resultado de la aplicación de reglas estrictamente establecidas de antemano.

Resultado que es:

Conclusión de un proceso de razonamiento.

Resultado aplicable directamente a los datos iniciales (resolución de problemas).

Modelo de relaciones previamente establecido como teoría científica y significativo respecto a determinadas realidades (Creación de modelos científicos).

Mero juego formal simbólico de fundamentación, creación y aplicación de las reglas que constituyen el sistema formal del algoritmo (Cálculo lógico-matemático, propiamente dicho).

Dada la importancia que históricamente ha adquirido la actividad lógico-matemática en la cultura humana el presente artículo se refiere a este último sentido. De hecho la palabra, en su uso habitual, casi queda restringida a este ámbito de aplicación; para algunos, incluso, queda reducida a un solo tipo de cálculo matemático, pues en algunas universidades se llamaba "Cálculo" a una asignatura específica de cálculo matemático (como puede ser el cálculo infinitesimal, análisis matemático, cálculo diferencial e integral, etc.).

En un artículo general sobre el tema no puede desarrollarse el contenido de lo que supone el cálculo lógico-matemático en la actualidad. Aquí se expone solamente el fundamento de sus elementos más simples, teniendo en cuenta que sobre estas estructuras simples se construyen los cálculos más complejos tanto en el aspecto lógico como en el matemático.

Historia del cálculo

De la Roma Clásica a la Edad Media

Reconstrucción de un ábaco romano.

Un ábaco moderno.

El término "cálculo" o calculuss procede del latín calculus piedrecita que se mete en el calzado y que produce molestia. Precisamente tales piedrecitas ensartadas en tiras constituían el ábaco romano que, junto con el suanpan chino, constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar.

Los antecedentes de procedimiento de cálculo, como algoritmo, se encuentran en los que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; así como Diofanto precursor del álgebra.

La consideración del cálculo como una forma de razonamiento abstracto aplicado en todos los ámbitos del conocimiento se debe a Aristóteles,

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