DEFINICIONES DE ESTDISTICA

DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL

En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan magnitudes y dirección, ya sea un fuerza, una velocidad o una distancia. El término vector también se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones.

Supongamos que tenemos un conjunto donde para y escalares cumplen con las siguientes propiedades:

Propiedad de cerradura

.

.

Propiedad de adición

.

.

contiene al elemento 0 con .

Propiedad de multiplicación por un escalar

.

.

.

Entonces se denomina un espacio vectorial. Podemos decir por lo anterior que en un espacio vectorial intervienen dos conjuntos, vectores y escalares, los segundos como coeficientes de los primeros. Los vectores forman un grupo abeliano con respecto a la adición (la suma es cerrada, asociativa, conmutativa, existe el elemento 0 y los negativos) y los escalares forman un campo con la inclusión del 0 y del .

Dicho de manera informal, en un espacio vectorial tenemos elementos los cuales podemos sumar entre ellos, alargarlos o contraerlos; un paso a seguir es encontrar todas las características estructurales de estos espacios. Para esto recurriremos a ideas provenientes del Álgebra Universal, tales como relaciones de orden, relaciones de equivalencia, mapeos de un conjunto a otro y la gene-ración de espacios más complejos por medio de productos cartesianos.

SUBESPACIO VECTORIAL

Definición

Sean (V,+,K,*) un espacio vectorial y S un subconjunto de V.

S es subespacio vectorial de V si (S,+,K,*) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V.

Criterio de subespacio

El criterio para la verificación de que S es subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío que cumple con estas tres condiciones:

1) El Punto Origen pertenece al conjunto. Ej: (0,0,0) 2) Sea K un número real y {v} un vector que pertenece al conjunto entonces K.v también pertenece al conjunto. 3) Sean {u} y {v} dos vectores que pertenecen al conjunto entonces u+v también pertenece al conjunto.

Si estos tres axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

Propiedades de los Subespacios Vectoriales

(1) La intersección de subespacios vectoriales de E , si es subespacio vectorial de E

(E,+,•) es K-ev∧ { Hi} i ∊ I una familia de S.E.V de E ⇒ ∩ H i es S.E.V de E </b>

->Demostración:

H1 = {(x, y, z) / x + y + z = 0 }∧ H2 = { ( x, y, z ) / x - y + z = 0 } son S.E.V de R3

H1 ∩ H2 = { (x, y, z) / x + y + z = 0} = { (x, y, z) / x + z = 0 ∧ y = 0} = {(x, y, z) / x = - z ∧ y = 0}

->Caso particular:

(1, 0, -1) + (-2, 0, 2) = (-1, 0 , 1) ∊ H 1 ∩ H2 es lci α (1, 0, -1) + β (-2, 0, 2) ∊ H 1 ∩ H2 ∀α, β ∊ K ⇒ La interseccion es S.E.V

(2) La unión de subespacios vectoriales de E , no es subespacio vectorial de E

(E,+,•) es K-ev∧ { Hi } i ∊ I una familia de S.E.V de E ⇒∪ Hi no es S.E.V de E. </b>

Demostración:

H1 = { (0,y) / y ∊ R } ∧ H2 = { ( x,0) / x∊R } son S.E.V de R2.

Si (0,1) ∊ H1 también ∊ H1 ∪ H2. Si H 1 ∪ H2 fuera S.E.V la suma seria lci y no lo és. Si (1,0) ∊ H1 también ∊ H1 ∪ H2 (0,1) + (1,0) = (1,1) ∉ H1 ∪ H2.

(3) La suma de subespacios vectoriales (el conjunto suma) es subespacio vectorial de E

(E,+,•) es K-ev∧ H,G dos S.E.V de E ⇒ H + G es S.E.V de E

->Demostración:

H + G = { v∊ E / v = h + g tal que h ∊ H ∧ g ∊ G}. Queremos demostrar que H + G ∊ E

Sean:

h + g ∊ H+G;

h´+ g´ ∊ H+G;

α, β∊ K

α (h + g) + β (h´+ g´) = (α h + β h´) + (α g + β g´) ∊ H+G por el teorema H+G es S.E.V de E

COMBINACION LINEAL

Un vector W se denomina combinación lineal de los vectores v1, v2 ………. Vn

Si se puede expresar de la forma:

W = k1 v1 + k2 v2 + k3 v3 +……………….+kn vn

donde k1 , k2 k3 ………

kn son escalares.

Este conjunto de vectores se denota como

gen S ó gen ={ v1

, v2 ,v3 …. vn }

Ejemplo

1.-Todo vector v={a, b, c } en R3 se puede expresar como una combinación de los vectores estándar básicos

i=(1,0,0) , j=(0,1,0) , k=(0,0,1)

v= (a, b, c) = a (1,0,0) + b (0,1,0) + c (0,0,1) = ai + bj +ck

2.- Considerar los vectores u=(1,2,-1), y v=(6,4,2) en R3. Demostrar que w=(9,2,7) es una combinación lineal deu y v, y que w=(4,-1,8) no lo es.

Hay que encontrar los escalares que satisfacen la ecuación siguiente:

W= k1 u + k2 v

(9,2,7)= k1 (1,2,-1) + k2 (6,4,2)

(9,2,7)= (1 k1, 2 k1,-1k1) + (6 k2 ,4 k2 ,2 k2 )

Igualando

9= k1 +6k2

2= 2k1 +4k2

7 = -k1 +2k2

Resolviendo el sistema k1 = -3 k2 = 2

La respuesta es:

W= -3 u +3 v

(4,-1,8)= k1 (1,2,-1) + k2 (6,4,2)

(4,-1,8)= (1 k1, 2 k1,-1k1) + (6 k2 ,4 k2 ,2 k2 )

Igualando

4= k1 +6k2

-1= 2k1 +4k2

8= -k1 +2k2

Resolviendo el sistema se llega a la conclusión que es inconsistente, por lo tanto no es combinación lineal.

INDEPENDENCIA LINEAL.

Los vectores v1, v2, …..vn de un espacio vectorial son linealmente dependientes si existen constantes c1, c2,……..cn no todas iguales a cero que satisfagan la siguiente expresión (son dependientes si aparte del cero hay otras respuestas, se recuerda que el sistema de ecuaciones generado en esta ocasión es homogéneo):

C1 v1 + c 2v2+……cn vn =0

En caso contrario se dice que v1, v2, …..vn son linealmente independientes. Es decir que se debe cumplir la ecuación anterior y los valores de c1 = c2=…….=.cn=0. La única posibilidad de combinación lineal de ellos es que sean iguales a cero.

Ejemplo:

Determinar si los vectores (-1,1,0,0) y (-2,0,1,1)

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