Desigualdades

Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hay unos símbolos que son:<,>, ≤, ≥. En una definición decimos que:

Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones siguientes:

• X es mayor que Y

• X es menor que Y

De la definición de desigualdad, se deduce que:

• Todo número positivo es mayor que cero

• Todo número negativo es menor que cero

• Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto

• Si a > b entonces b < a .

Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer

miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el

miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

≠ no es igual

< menor que

> mayor que

≤ menor o igual que

≥ mayor o igual que

De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5

2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9

3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:

–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20

Propiedades de las desigualdades

1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:

a < b / ± c (sumamos o restamos c a ambos lados)

a ± c < b ± c

Ejemplo

2 + x > 16 / – 2 (restamos 2 a ambos lados)

2 + x − 2 > 16 − 2

x > 14

2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:

a < b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)

a • c < b • c

a > b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)

a • c > b • c

Ejemplo

3 ≤ 5 • x / :5

3/5 ≤ x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:

a < b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)

a • c > b • c

a > b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)

a • c < b • c

Ejemplo

15 – 3 • x ≥ 39 / −15

− 3 • x ≥ 39 – 15 /: −3

x ≤ 24: (−3)

x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.

De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa.

1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:

a < b / ± c

a ± c < b ± c

ejemplo

2 + x > 16 / – 2

x > 14

2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:

a < b / • c (c > 0)

a • c < b • c

a > b / • c (c > 0)

a • c > b • c

Ejemplo

3 5 • x / :5

3/5 x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:

a < b / • c (c < 0)

a • c > b • c

a > b / •

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