Distribución Geometrica

Distribución geométrica

Se llama distribución Geométrica a una variable x que expresa el instante en que ocurre el primer éxito. Esta distribución depende solo de la probabilidad p de obtener éxito en cada ensayo y suele representarse por G (p). La probabilidad de que el primer éxito surja en el instante k.

P { x = k} = p(1 – p)k-1, k = 1,2,3……

Ejemplo:

Como la probabilidad de que una persona esté en paro es p= 0, 25, la probabilidad de que haya que realizar seis entrevistas hasta encuestar a una persona en paro es

P {x = 6} = p (1 – p )6-1 = (0, 25) (0,75)5 = 0,05.

La distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:

• la distribución de probabilidad del número X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un éxito, contenido en el conjunto {1, 2, 3,...}

• la distribución de probabilidad del número Y = X − 1 de fallos antes del primer éxito, contenido en el conjunto {0, 1, 2, 3,...}.

La distribución geométrica, es una cuestión de convención y conveniencia.

Propiedades

Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para obtener un éxito es

Para x = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la probabilidad de que haya x fallos antes del primer éxito es

Para x = 0,1, 2, 3,....

En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una progresión geométrica.

El valor esperado de una variable aleatoria X distribuida geométricamente es

y dado que Y = X-1,

En ambos casos, la varianza es

Las funciones generatrices de probabilidad de X y la de Y son, respectivamente,

Como su análoga continua, la distribución exponencial, la distribución geométrica carece de memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de probabilidad condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tienen "memoria" de estos fallos. La distribución geométrica es de hecho la única distribución discreta sin memoria.

De todas estas distribuciones de probabilidad contenidas en {1, 2, 3,...3} con un valor esperado dado μ, la distribución geométrica X con parámetro p = 1/μ es la de mayor entropía.

La distribución geométrica del número y de fallos antes del primer éxito es infinitamente divisible, esto es, para cualquier entero positivo n, existen variables aleatorias independientes Y 1,..., Yn distribuidas idénticamente la suma de las cuales tiene la misma distribución que tiene Y. Estas no serán geométricamente distribuidas a menos que n = 1.

Distribuciones relacionadas

Es un caso especial de la distribución binomio negativa con parámetro k = 1. Más generalmente, si Y 1,...,Yk son variables independientes

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