Distribución Muestral

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL.

La distribución de probabilidad de una estadística se llama distribución muestral.

Recordemos algunas estadísticas: Muestra aleatoria.

Si X1, X2,…, Xn representa una muestra aleatoria (m.a.) de tamaño n, entonces la media de la muestra se define mediante la estadística.

X ̅ = 1/n ∑_(i=0)^n▒〖 Xi〗

Notar que la estadística X ̅ toma el valor de x ̅ = 1/n ∑_(i=0)^n▒〖 xi〗 cuando X_1 toma el valor de x_1, X_2 toma el valor de x_2 y así sucesivamente.

En la práctica al valor de una estadística por lo general se le da el mismo nombre de la estadística. Por ejemplo, el término medio de la muestra se aplica tanto a la estadística X ̅ como a su valor calculado x ̅.

Varianza de la muestral.

Si X1, X2,…, Xn representa una m.a. de tamaño n, entonces la varianza de la muestra se define con la estadística. S^2 = ∑_(i=1)^n▒〖(X_(1-) 〖X)〗^2 〗

n – 1

Corolario: La varianza de una m.a. de tamaño n, se puede obtener de la siguiente manera:

S^2 = n/(n-1) [(X^2 ) ̅-((〖X)〗^2 ) ̅ ]

La desviación estándar de la muestra, que se denota por S, es la raíz cuadrada positiva de la varianza de la muestra.

La distribución muestral de una estadística depende del tamaño de la población, el tamaño de las muestras y el método de elección de las muestras.

Se deben estudiar las distribuciones muéstrales de las estadísticas:

X ̅ Y S^2

Como el mecanismo a partir del cual haremos finalmente inferencias de los parámetros μ y σ^2.

La distribución muestral de la estadística X ̅ con tamaño muestral n es la distribución que resulta cuando un experimento se lleva a cabo una y otra vez (siempre con tamaño muestral n) y resultan los diversos valores de X ̅. Esta distribución muestral, entonces, describe la variabilidad de los promedios muestrales alrededor de la media poblacional µ.

• Se aplica el mismo principio en el caso de la distribución de S^2. La distribución muestral produce información acerca de la variabilidad de los valores de S^2 alrededor de σ^2 en experimentos que se repiten.

La primera distribución muestral importante a considerar es la de la media muestral X ̅ . Supongamos que una m.a. de n observaciones se toma de una población normal con media μ y desviación estándar σ. Cada observación X_i, i=1,…, n de la m.a. tendrá entonces la misma distribución normal que la población que se muestrea.

Teorema del Límite Central.

Si X ̅ es la media de una m.a. de tamaño n tomada de una población con media µ y desviación estándar σ, entonces la forma límite de la distribución de:

Z = (x ̅-μ)/(σ/√n) Distribución Estándar.

Conforme n → ∞, es la Distribución normal Estándar.

• La aproximación normal para X ̅

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