Distribusciones

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL

Nombre: Salazar Ruales Jorge David Nivel: 4TD

Carrera: Ingeniería de Petróleos Paralelo: B33

Fecha: 25/05/2015 Tema: Probabilidad

Distribución hipergeométrica.

La manera más simple de ver la diferencia entre la distribución binomial y la distribución hipergeométrica consisten en observar la forma en que se realiza el muestreo. Los tipos de aplicaciones de la distribución hipergeométrica son muy similares a los de la distribución binomial. Nos interesa el cálculo de probabilidades para el número de observaciones que caen en una categoría específica. Sin embargo, la distribución binomial requiere que los ensayos sean independientes. Por consiguiente, si se aplica esta distribución, digamos, tomando muestras de un lote de artículos (barajas, lotes de artículos producidos), el muestreo se debe efectuar reemplazando cada artículo después de observarlo. Por otro lado, la distribución hipergeométrica no requiere independencia y se basa en el muestreo que se realiza sin reemplazo.

En general, nos interesa la probabilidad de seleccionar x éxitos de los k artículos considerados éxitos y n – x fracasos de los N – k artículos que se consideran fracasos cuando una muestra aleatoria de tamaño n se selecciona de N artículos. Esto se conoce como un experimento hipergeométrico; es decir, aquel que posee las siguientes dos propiedades:

1. De un lote de N artículos se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n sin reemplazo.

2. k de los N artículos se pueden clasificar como éxitos y N – k se clasifican como fracasos.

El número X de éxitos de un experimento hipergeométrico se denomina variable aleatoria hipergeométrica. En consecuencia, la distribución de probabilidad de la variable hipergeométrica se conoce como distribución hipergeométrica, y sus valores se denotan con h(x; N, n, k), ya que dependen del número de éxitos k en el conjunto N del que seleccionamos n artículos.

Hagamos una generalización para calcular una fórmula para h(x; N, n, k). El número total de muestras de tamaño n elegidas de N artículos es (N n). Se supone que estas muestras tienen la misma probabilidad. Hay (k x) formas de seleccionar x éxitos de los k disponibles, y por cada una de estas formas podemos elegir n – x fracasos en formas (N – k n – x). De esta manera, el número total de muestras favorables entre las (N n) muestras posibles, está dado por (k x) (N – k n – x), en consecuencia tenemos la siguiente definición: La distribución de probabilidad de la variable aleatoria hipergeométrica X, el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n que se selecciona de N artículos, en los que k se denomina éxito y N – k fracaso, es:

La media y la varianza de la distribución hipergeométrica h(x; N, n, k) son:

Distribución binomial negativa.

Consideremos un experimento con las mismas propiedades de un experimento binomial, sólo que en este caso las pruebas se repetirán hasta que ocurra un número fijo de éxitos. Por lo tanto, en vez de encontrar la probabilidad de x éxitos en n pruebas, donde n es fija, ahora nos interesa la probabilidad de que ocurra el k-ésimo éxito en la x-ésima prueba. Los experimentos de este tipo se llaman experimentos binomiales negativos.

El número X de ensayos necesarios para generar k éxitos en un experimento binomial negativo se denomina variable aleatoria binomial negativa y su distribución de probabilidad se llama distribución binomial negativa. Dado que sus probabilidades dependen del número de éxitos deseados y de la probabilidad de un éxito en un ensayo dado, denotaremos ambas probabilidades con el símbolo b*(x; k, p). Para obtener la fórmula general para b*(x; k, p), considere la probabilidad de un éxito en el x-ésimo ensayo precedido por k – 1 éxitos y x – k fracasos en un orden específico. Como los ensayos son independientes podemos multiplicar todas las probabilidades que corresponden a cada resultado deseado. La probabilidad de que ocurra un éxito es p y la probabilidad de que ocurra un fracaso es q = 1 – p. Por lo tanto, la probabilidad para el orden específico, que termina en un éxito,

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