EIGENVALORES Y EIGENVECTORES

República Bolivariana De Venezuela

Ministerio Del Poder Popular Para La Defensa

Universidad Nacional Experimental De La Fuerza Armada

UNEFA

INTEGRANTES:

Kilber Calzadilla, C.I. 22996226

Algebra Lineal

Juan Griego, Diciembre del 2.011

1) EIGENVALORES Y EIGENVECTORES

los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

2) POLINOMIO CARACTERISTICO Y ECUACION CARACTERISTICA

Teorema 1. Sea A una matriz de n * n. Entonces es un valor propio de A sí y sólo sí

(4)

Definición. Ecuación y polinomio característicos. La ecuación (4) se llama la ecuación característica de A; p( ) se llama el polinomio característico de A.

Como será evidente p( ) es un polinomio de grado n en . Por ejemplo, si A = a b

c d

Entonces, A - I = a b 0 = a - b

c d 0 c d -

y p( ) = det ( A - I ) = ( a - )(d - ) - bc = 2 - (a + b) + (ad - bc).

Según el teorema fundamental del álgebra, cualquier polinomio de grado n con coeficientes reales o complejos tiene exactamente n raíces (contando multiplicidades). Esto significa, por ejemplo, que el polinomio ( - I)5 tiene cinco raíces, todas iguales al número 1. Como cualquier eigenvalor de A es una raíz de la ecuación característica de A, se concluye que

Teorema 2. Sea un valor propio de la matriz AQ de n * n y sea E = {v: Av = v}. Entonces E es un subespacio de Cn.

Demostración. Si Av = v, entonces (A - I)v = 0. Así E es el espacio nulo de la matriz A - I, que es un subespacio de Cn.

Definición. Espacio propio. Sea un valor propio de A. El subespacio E se llama espacio propio& de A correspondiente al valor propio .

Observe que 0 " E ya que E es un subespacio. Sin embargo, o no es un vector propio.

Teorema 3. Si A y B son matrices semejantes de n * n, entonces A y B tienen el mismo polinomio característico y, por lo tanto, tiene los mismos valores propios.

Demostración. Como A y B son semejantes, B = C-1AC y

Det (B - I) = det (C-1AC - I) = det [C-1AC - C-1( I)C]

= det [C-1(A - I)C] = det (C-1) det(A - I) det (C)

= det (C-1) det (C) det (A - I) = det (C -1C) det (A - I)

= det I det (A - I) = det (A - I)

Esto significa que A y B tiene la misma ecuación característica, y como los valores propios son raíces de la ecuación característica, tiene los mismos valores propios.

3) VECTOR Y VALOR PROPIO

Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección.1

El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.

Intuitivamente, para las transformaciones lineales del espacio de dos dimensiones mathbb{R}^2, los vectores propios son:

rotación: ningún vector propio de valores reales (existen en cambio pares valor propio, vector propio complejos).

reflexión: los vectores propios son perpendiculares y paralelos al eje de simetría, los valores propios son -1 y 1, respectivamente.

escalado uniforme: todos los vectores son vectores propios, y el valor propio es el factor de escala.

proyección sobre una recta: los vectores propios con el valor propio 1 son paralelos a la línea, vectores propios con el valor propio 0 son paralelos a la dirección de la proyección

TEOREMA ESPECTRAL

El teorema espectral muestra la importancia de los valores propios y vectores propios para caracterizar una transformación lineal de forma única. En su versión más simple, el teorema espectral establece que, bajo unas condiciones determinadas, una transformación lineal de un vector puede expresarse como la combinación lineal de los vectores propios con coeficientes de valor igual a los valores propios por el producto escalar de los vectores propios por el vector al que se aplica la transformación, lo que puede escribirse como:

mathcal{T}(mathbf{v})= lambda_1 (mathbf{v}_1 cdot mathbf{v}) mathbf{v}_1 + lambda_2 (mathbf{v}_2 cdot mathbf{v}) mathbf{v}_2 + dots

donde mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, dots y lambda_1, lambda_2, dots representan a los vectores propios y valores propios de mathcal{T}. El caso más simple en el que tiene validez el teorema es cuando la transformación lineal viene dada por una matriz simétrica real o una matriz hermítica compleja.

Si se define la enésima potencia de una transformación como el resultado de aplicarla n veces sucesivas, se puede definir también el polinomio de las transformaciones. Una versión más general del teorema es que cualquier polinomio P de mathcal{T} es igual a:

P(mathcal{T})(mathbf{v})= P(lambda_1) (mathbf{v}_1 cdot mathbf{v}) mathbf{v}_1 + P(lambda_2) (mathbf{v}_2 cdot mathbf{v}) mathbf{v}_2 + dots

El teorema puede extenderse a otras funciones o transformaciones tales como funciones analíticas, siendo el caso más general las funciones de Borel.

VECTORES PROIOS Y VALORES PROPIOS DE UNA MATRIZ

Cálculo de valores propios y vectores propios de matrices

Si se quiere calcular los valores propios de una matriz dada y ésta es pequeña, se puede calcular simbólicamente usando el polinomio característico. Sin embargo, a menudo resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar un método numérico.

Encontrando valores propios

Una herramienta importante para encontrar valores propios de matrices cuadradas es el polinomio característico: decir

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