Ecuación de Bernoulli

Ecuación de Bernoulli

Jacobo Bernoulli (1654-1705) resolvió en 1696, a través de separación de variables, la ecuación diferencial que hoy lleva su nombre, sin embargo el método de cambio de variable se proponen este texto para reducir la ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal, fue propuesto por Leibniz también en 1969.

Véase que la ecuación de Bernoulli difiere de la ecuación lineal de primer orden solamente por el factor yn aplicado al término Q(x) de la ecuación dy/dx + P(x) y= Q(x). El resultado es una ecuación diferencial no lineal en la variable y.

Existen Ecuaciones Diferenciales que no son lineales pero se pueden transformar en Lineales. Una de estas es la denominada Ecuación de Bernoulli.

Definición: Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden (no lineal en la variable dependiente y) recibe el nombre de ecuación diferencial de Bernoulli si puede ser escrita en la forma dy/dx + P(x) y= Q(x) yn con la restricción n≠0

Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma

Donde y son funciones reales y continuas en un intervalo y es una constante rela diferente a 0 y 1 se conoce como ecuación de Bernoulli.

Observación: cuando la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando se trata de una ecuación lineal.

La ecuación de Bernoulli

Se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución

Demostración:

Al dividir la ecuación por , resulta

Usando la regla de la cadena, calculemos a partir de la sustitución

Sustituyendo en la ecuación, esta se transforma en

La cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería.

Una ecuación de Bernoulli tiene la forma y´ + p(x) y = g(x) yn en donde n≠0, n ≠1. Para encontrar su solución, se distingue los siguientes pasos:

Métodos de solución:

Convertirla en lineal mediante la sustitución: u = y1-n

Sin convertirla en lineal, mediante la sustitución: y = u(x) v(x).

Ejemplo:

Resolver la ecuación:

y´ + 2/yy = -2xy2

Aquí: n = 2.

Entonces u= y-1 → y= u-1 y y´ = - u-2 u´

Sustituyendo -u-2 u´+ 2/xu-1 = -2xu-2

Dividiendo entre –u-2

u´ - 2/xu = 2x,

Que ya es una ecuación lineal en la variable u, con solución:

U = 2x2 ln⁡x + cx2

Como u= y-1, entonces:

y= 1/(〖2x〗^2 ln⁡〖x+cx^2 〗 )

Sea y= uv.

Sea v(x) la solución de y´ ´+ 2/xy = 0, es decir, v(x)= 1/x^2

La ecuación dada se transformar en:

uv´+ u(v´ + 2/xv) = -2xv2v2

Sustituyendo v(x), después de haber dividido la ecuación:

u´ + u ((-2/x^3)/(1/x^2

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