Ejercicios Para Resolver

ÁREAS, VOLUMEN Y ECUACIONES DE LINEAS Y PLANOS

Los determinantes tienen muchas aplicaciones en geometría analítica.

ÁREA DE UN TRIANGULO EN EL PLANO x-y.

El área de un triángulo cuyos vértices son (x_1,y_1 ),(x_2,y_2 ) y (x_3,y_3) está dada por:

Área=±1/2 det[■(x_1&y_1&1@x_2&y_2&1@x_3&y_3&1)]

Donde el signo (±) es elegido para generar un área positiva.

ANÁLISIS DE PUNTOS COLINEALES EN EL PLANO x-y.

Tres puntos (x_1,y_1 ),(x_2,y_2 ) y (x_3,y_3) son colineales si y sólo si:

det[■(x_1&y_1&1@x_2&y_2&1@x_3&y_3&1)]=0

FORMA DE DOS PUNTOS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.

La ecuación de la recta que pasa por los puntos distintos (x_1,y_1 ),(x_2,y_2 ) está dada por:

det[■(x&y&1@x_1&y_1&1@x_2&y_2&1)]=0

VOLUMEN DE UN TETRAEDRO.

El volumen de un tetraedro cuyos vértices son: (x_1,y_1,z_1 ),(x_2,y_2,z_2 ),(x_3,y_3,z_3 ) y (x_4,y_4.z_4 ) está dada por:

Volumen=±1/6 det[■(x_1&y_1&z_1&1@x_2&y_2&z_2&1@x_3&y_3&z_3&1@x_4&y_4&z_4&1)]

Donde el signo (±) se elige para tener un volumen positivo.

ANÁLISIS DE PUNTOS COPLANARES EN EL ESPACIO.

Cuatro puntos (x_1,y_1,z_1 ),(x_2,y_2,z_2 ),(x_3,y_3,z_3 ) y (x_4,y_4.z_4 ) son coplanares si y sólo si:

det[■(x_1&y_1&z_1&1@x_2&y_2&z_2&1@x_3&y_3&z_3&1@x_4&y_4&z_4&1)]=0

FORMA DE TRES PUNTOS DE LA ECUACIÓN DE UN PLANO.

Una ecuación de un plano que pasa por tres puntos (x_1,y_1,z_1 ),(x_2,y_2,z_2 ) y (x_3,y_3,z_3 ) está dada por:

det[■(x&y&z&1@x_1&y_1&z_1&1@x_2&y_2&z_2&1@x_3&y_3&z_3&1)]=0

EJERCICIOS.

Encuentre el área del triángulo que tiene los vértices dados.

(0,0),(2,0),(0,3)

(-1,2),(2,2),(-2,4)

(1,1),(2,4),(4,2)

(1,1),(-1,1),(0,-2)

Determine si los puntos son colineales.

(1,2),(3,4),(5,6)

(-2,5),(0,-1),(3,-9)

(-1,-3),(-4,7),(2,-13)

(-1,0),(1,1),(3,3)

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados.

(0,0),(3,4)

(-2,3),(-2,-4)

(-4,7),(2,4)

(1,4),(3,4)

Encuentre el volumen del tetraedro que tiene los vértices dados.

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1)

(1,1,1),(0,0,0),(2,1,-1),(-1,1,2)

(3,-1,1),(4,-4,4),(1,1,1),(0,0,1)

(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),(1,1,4)

Determine si los puntos son coplanares.

(-4,1,0),(0,1,2),(4,3,-1),(0,0,1)

(1,2,3),(-1,0,1),(0,-2,-5),(2,6,11)

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