El momento polar de inercia de un área determinada

Hasta ahora se ha supuesto que la atracción ejercida por la tierra sobre un cuerpo rígido podía representarse por una sola fuerza W. Esta fuerza denominada fuerza de gravedad o peso del cuerpo, debía aplicarse en el centro de gravedad del cuerpo.

En el centro de gravedad de un cuerpo bidimensional se considera una placa plana horizontal. La placa puede dividirse en n elementos pequeños. Las coordenadas del primer elemento se representa con X1, y Y1, los del segundo elemento se representan con X2 y Y2, etc.

Las fuerzas ejercidas por la tierra sobre los elementos de la placa serán representadas respectivamente, con ∆W1, ∆W2…∆Wn. Estas fuerzas o pesos están dirigidas hacia el centro de la tierra y sin embargo, para todos propósitos prácticos, se puede suponer que dichas fuerzas son paralelas. Por lo tanto, su resultante es una sola fuerza en la misma dirección. La magnitud W de esta fuerza se obtiene a partir de la suma de las magnitudes de los pesos de los elementos.

∑Fz: W=∆W1 + ∆W2+…+∆Wn

Para obtener las coordenadas x ̅ y y ̅del punto G, donde debe aplicarse la resultante W, se escribe que los momentos de W con respecto a los ejes X y Y son iguales a la suma de momentos correspondientes de los pesos elementales, esto es

∑My x ̅w= x1 ∆W1+ x2 ∆W2+…+ xn∆Wn ∑My y ̅w= y1 ∆W1+ y2 ∆W2+…+ yn∆Wn

Si ahora se incrementa el número de elementos en los cuales se ha dividido la placa y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento se obtiene, en el límite, las siguientes expresiones: W=∫dW x ̅w=∫ x dW y ̅ W=∫ y dW

Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas x ̅ y y ̅ del centro de gravedad G de una palanca plana. Se puede derivar las mismas ecuaciones para un alambre que se encuentra en el plano xy. Se observa que usualmente el centro de gravedad G de un alambre no está localizado sobre este último(figura1)

En centroides de áreas y líneas se tiene una palanca plana homogénea de espesor uniforme, la magnitud ∆W del peso de un elemento de la placa puede expresarse como ∆W= yt∆A

Donde y=peso específico (peso por unidad de volumen) del material, t=espesor de la placa, ∆A= área del elemento. En forma similar, se puede expresar la magnitud W del peso de toda la placa como W=ytA, donde A es el área total de la placa. Si se sustituye a ∆W y a W en las ecuaciones de momento y se divide a todos los términos entre yt, se obtiene;

∑My: x ̅A= x1 ∆A1 + x2 ∆A2 +…+ xn∆An , ∑Mx: y ̅A= y1 ∆A1 + y2 ∆A2 +…+ yn∆An

Si se incrementa el número de elementos en los cuales se divide el área A y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento, se obtiene en el límite. x ̅A=∫ x dA y ̅A= ∫ y dA

Estas ecuaciones definen las coordenadas y ̅ y y ̅ del centro de gravedad de una palanca homogénea. En el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme, la magnitud ∆W del peso de un elemento de alambre puede expresarse como ∆W= ya ∆L, donde Ƴ es el peso específico del material, a es el área de la sección transversal del alambre y ∆L es la longitud del elemento.

El centro de gravedad de un alambre coincide con el centroide C de la línea L que define la forma del alambre. Las coordenadas x y ӯ del centroide de la línea L se obtiene a partir de las ecuaciones, (figura 2). x ̅L=∫ x dL y ̅L=∫ y dL

La integral ∫x dA se conoce como el primer momento del área A con respecto al eje y y se representa con Qy. En forma similar, la integral ∫ y dA define el primer momento de A con respecto al eje x y se representa con Qx. Así se escribe;

Qy= ∫ x dA Qx=∫ y dA

Los primeros momentos del área A pueden ser expresados como los productos del área con las coordenadas de su centroide; Qy= x ̅A Qx= y ̅A

Se dice que un área A es simétrica con respecto a un eje BB´si para todo el punto P del área existe un punto P´de esa misma área tal que la línea PP´sea perpendicular a BB´y dicha línea está dividida en dos partes iguales por el eje en cuestión, (figura 3)

Se dice que un área A es simétrica con respecto a un centro O si para cada elemento de área dA de coordenadas x y y existe un elemento de área dA´ de igual superficie con coordenadas –x y –y. Se debe señalar que va una figura con un centro de simetría no necesariamente posee un eje de simetría y que una figura con dos ejes de simetría no necesariamente tienen un centro de simetría. (Anexo 4).

En la (figura5) se muestran los centroides de formas comunes de áreas y de líneas, una palanca plana puede dividirse en rectángulos, triángulos u otras de las formas comunes, la abscisa x ̅ de su centro de gravedad g puede determinarse a partir de las abscisas x ̅1, x ̅2,.. x ̅n de los centros de gravedad de las diferentes partes que constituyen la palanca, expresando el momento del peso de toda la placa con respecto al eje y y que por consiguiente es igual a la suma de los momentos de los pesos de las diferentes partes con respecto a ese mismo eje.

Si la palanca es homogénea y de espesor uniforma entonces el centro de gravedad coincide con el centroide de su área, la abscisa x ̅ del centroide del área puede

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