El principio del máximo de Pontryagin

El principio del máximo de Pontryagin

La clave para la teoría de control optimo es una condición necesaria de primer orden conocida como principio del máximo. El enunciado del principio del máximo implica un enfoque que es a fin a la función lagrangiana y a la variable multiplicadora de lagrange. Para los problemas de control optimo esta se conoce como la Hamiltoniana y la variable de coestado, conceptos que ahora vamos a desarrollar

El hamiltoniano

Hay 3 variables: El tiempo , la variable de estado y la variable de control [pic 1][pic 2][pic 3]

Ahora introducimos una nueva variable, conocida como la variable de coestado, y la denotamos como  Al igual que el multiplicador de lagrange, la variable de coestado mide el precio sombra del precio de estado.[pic 4]

La variable de coestado se introduce en el problema de control optimo via una función hamiltoniana (Abreviada como Hamiltoniano). El Hamiltoniano se define como:

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Donde  denota al Hamiltoniano y es una función de 4 variables[pic 6]

Principio Maximo

El principio del máximo-La herramienta principal para la solución de problemas de control optimo debe su nombre a que una condición necesaria de primer orden requiere que escojamos a u de modo que se maximice al hamiltoniano  para todos los instantes de tiempo.[pic 7]

Además de la variable de control u, como  implica la variable de estado y  a la variable de coestado , El enunciado del principio máximo también estipula como la forma en que  y  deben cambiar con respecto al tiempo, por medio de una ecuación de movimiento para la variable de estado “y” (Abreviada como ecuación de estado), asi como una ecuación de movimiento para la variable de coestado  (Abreviada como ecuación de coestado. La ecuación de estado siempre viene como parte del enunciado del mismo problema, como en la segunda ecuación (20.1). Pero en vista de que (20.39) implica  , el principio del máximo describe la ecuación de estado[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

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En constante,  no aparece en el enunciado del problema y su ecuación de movimiento entra en escena solo como una condición de optimización. La ecuación de coestado es[pic 18]

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Observe que ambas ecuaciones de movimiento se enuncian en términos de la derivadas parciales , sugiriendo alguna simetría, pero hay un signo negativo añadido a [pic 20][pic 21]

Las ecuaciones constituyen un sistema de dos ecuaciones diferenciales. Así, necesitamos dos condiciones de frontera para determinar las dos constantes arbitrarias que van a surgir en el proceso de solución. Si tanto el estado inicial  como el estado terminal  son fijos, entonces podemos usar estas especificaciones para determinar las constantes. Pero si, como en el problema, el estado terminal no esta fijo entonces debemos incluir algo llamado condición de transversabilidad como parte del principio del máximo, para cubrir la brecha dejada por la condición de frontera faltante.[pic 22][pic 23]

Resumiendo, podemos identificar los diferentes componentes del principio del máximo para el problema como sigue:

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La condición  establece que para todo instante  el valor de  el control optimo, debe escogerse de modo que se maximice el valor del hamiltoniano para todos los valores admisibles de  En el caso en el cual el hamiltoniano es diferenciable respecto a u y ofrece una solución interior, la condición i puede reemplazarse con[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

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Sin embargo, la región de control es un conjunto cerrado, entonces son posibles la solución de frontera y   no puede aplicar. De hecho, el principio del máximo ni siquiera requiere que el hamiltoniano sea diferenciable respecto a [pic 33][pic 34]

Las condiciones  y  del principio máximo   y  , nos dan dos ecuaciones de movimiento, denominadas como sistemas de hamiltoniano para el problema dado. La condición , , es la condición de transversalidad apropiada solo para el problema de estado terminal libre.[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

Condiciones terminales alternativas

¿Qué ocurre con el principio del máximo cuando la condición terminal es diferente? Ahí enfrentamos una línea terminal vertical, con un tiempo terminal fijo, pero un estado terminal no restringido. El principio del máximo para el problema de maximización requiere que:

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Con la condición de transversalidad

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Con las condiciones terminales alternativas, las condiciones  y  van a permanecer iguales, pero la condición  (la condición de transversabilidad) debe modificarse oportunamente[pic 45][pic 46][pic 47]

Punto terminal fijo

Si el punto terminal es fijo de modo que la condición terminal es  T con   y  T  dados, entonces la condición terminal misma debe dar la información para determinar una constante.[pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

En este caso, no se necesita ninguna condición de transversalidad

Linea terminal Horizontal

Suponga que el estado terminal es fijo para un nivel objetivo dado T, pero el tiempo terminal  es libre, de modo que tenemos la flexibilidad de alcanzar el objetivo apresuradamente o aun paso lento. Entonces tenemos la línea terminal horizontal como se ilustra, lo que nos permite escoger entre 1, 2, 3, u otros tiempos terminales para alcanzar el nivel objetivo de “y”. Para este caso, la condición de transversalidad es una resticcion del hamiltoniano (en vez de la variable de coestado) para .[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]

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