FUNCIONES POLINÓMICAS

FUNCIONES POLINÓMICAS

Características

Las funciones polinómicas son aquellas cuya expresión es un polinomio, como por ejemplo, f(x)=3x4-5x+6.

En la escena se pueden ver las gráficas de las funciones polinómicas de grado menor que 3, que son las que se estudiarán en esta quincena. Escoge el grado y los coeficientes para ver gráficas de distintas funciones, observa la forma según su grado

• las de grado cero como f(x) = 2, son rectas horizontales

• las de grado uno como f8x) = 2x+4, son rectas oblicuas

• las de grado dos como f(x) = 2x2 + 4x + 3, son parábolas cuyo eje es paralelo al de ordenadas

Se trata de funciones continuas cuyo dominio es el conjunto de los números reales.

FUNCIONES DE PRIMER GRADO

TÉRMINO INDEPENDIENTE

En cualquier función f(x) el corte de su gráfica con el eje-y o eje de ordenadas, es el punto (0, f(0)), por tanto su valor en cero define el corte con el eje de ordenadas.

En el caso de las funciones polinómicas f(0) coincide con el coeficiente de grado cero o término independiente de la función, por tanto nada más ver la expresión ya reconocemos un punto de su gráfica, el corte en el eje de ordenadas.

Si f(x)=ax+b, su gráfica corta al eje OY en b

PENDIENTE

Es fácil ver que al modificar el coeficiente de x en estas funciones, lo que cambia es la inclinación de la recta, y esta se mide con la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas, es decir, la pendiente de la recta.

Si f(x)=ax+b, su pendiente es a

Observa que cuando a es positiva la función es creciente, y cuando es negativa, decreciente.

Así, viendo los coeficientes, sabemos cómo es la gráfica de la función sin necesidad de realizar ningún cálculo.

FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO

La grafica de las funciones polinómicas de segundo grado es una parábola de eje vertical.

La parábola y=ax2

Observa en la animación cómo se construye la gráfica de f(x)=a•x2 y varía con los pulsadores el coeficiente de x2 para ver cómo cambia la gráfica según los valores y el signo de a.

f(x)=ax2

Es simétrica respecto del eje OY

Si a>0 tiene un mínimo absoluto en (0,0)

Si a<0 tiene un máximo absoluto en (0,0)

El signo de a determina la concavidad de la gráfica.

ALGUNAS APLICACIONES

Mediante las funciones polinómicas de segundo grado se pueden estudiar algunas situaciones, presentes en el mundo físico y la vida real.

Además el vértice de la parábola, es el máximo o mínimo relativo y a la vez absoluto de la función cuadrática correspondiente; mínimo si es convexa (hacia arriba) o máximo si es cóncava hacia abajo.

Entonces calcular los extremos relativos de estas funciones es sencillo, basta calcular las coordenadas del vértice, como puedes observar en los ejemplos de la escena.

FUNCION DE TERCER GRADO

La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:

donde el coeficiente a es distinto de 0. Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales.La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuártica.

La ecuación cúbica es la ecuación que resulta de igualar a cero la función cúbica, y tiene la forma canónica:

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos.

FUNCIONES RCIONALES

Las funciones racionales son de la forma y = f(x), donde f(x) es una expresión racional. Algunos de los ejemplos de funciones racionales son:

, ,

Las gráficas de las funciones racionales pueden ser difíciles de dibujar. Para dibujar una gráfica de una función racional, puede comenzar encontrando las asíntotas y las intercepciones.

Pasos involucrados para graficar las funciones racionales:

1. Encuentre las asíntotas de la función racional, si las hay.

2. Dibuje las asíntotas como rectas punteadas.

3. Encuentre la intercepción en x y la intercepción en y de la función racional, si las hay.

4. Encuentre los valores de y para varios valores diferentes de x .

5. Grafique los puntos y dibuje una curva lisa que conecte los puntos. Asegúrese que la gráfica no cruce las asíntotas verticales.

Ejemplo:

Grafique la función racional

La asíntota vertical de una función racional es el valor de x donde el denominador de la función es cero. Iguale el denominador a cero y encuentre el valor de x.

2 x + 1 = 0

x = -1/2

La asíntota vertical de la función racional es x = -0.5.

Esta función tiene la intercepción en x en (-1/4, 0) y la intercepción en y en (0, 1). Encuentre más puntos en la función y grafique la función.

Algunas veces la función racional dada tiene que ser simplificada, antes de graficarla. En ese caso, si hay algunos valores excluidos (donde la función no esté definida) diferentes de las asíntotas, entonces hay un paso adicional involucrado al graficar la función.

Para representar la función no definida, asegúrese que la función no es una curva lisa continua en el valor excluido. Este valor excluido es usualmente referido como un hoyo en la función racional.

Por ejemplo, la función racional tiene un hoyo en x = 0.

FUNCIONES EXPONENCIALES

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica (ver t36), por cuanto se cumple que:

Representación gráfica de varias funciones exponenciales.

Función exponencial, según el valor de

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