FUNCIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: donde a, b y c son números reales cualquiera y a distinto de cero, de otro modo resultaría una de primer grado que algunos llaman función lineal; otros, función afín.

La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

CARACTERÍSTICAS

Las funciones cuadráticas tienen las siguientes características:

1. El dominio es el conjunto de los números reales.

2. Son continuas en todo su dominio.

3. Siempre cortan al eje Y en el punto (0, c).

4. Cortarán al eje X (en uno o dos puntos) o no, dependiendo de las soluciones de la ecuación ax2+ bx + c = 0.

5. Si a > 0 la parábola está abierta hacia arriba y si a < 0 la parábola está abierta hacia abajo.

6. Cuanto mayor sea |a|, más estilizada es la parábola.

7. Tienen un vértice, punto donde la función alcanza un mínimo (a > 0) o un máximo(a< 0).

8. Tiene un eje de simetría que es la recta vertical que pasa por el vértice.

9. Si a > 0, la función es creciente para valores de x a la derecha del vértice y decreciente para valores a la izquierda del vértice.

10. Si a < 0, la función es creciente para valores de x a la izquierda del vértice y decreciente para valores a la derecha del vértice.

11. Si a > 0 es convexa y si a < 0 es cóncava.

Ejemplo de la función cuadrática: f(x) = - x2 + 5x - 6

1) Puntos de corte con los ejes:

Para x = 0 tenemos que f (0) = - 6 luego el punto de corte con el eje Y es (0, - 6).

Para y = 0 tenemos que 0 = - x2 + 5x - 6 así que resolvemos la ecuación de segundo grado, siendo sus raíces x = 2 y x = 3.

Por lo tanto, los puntos de corte con el eje X son (2, 0) y (3, 0).

2) Vértice de la parábola:

También podemos hacer yv = f (5/2)

3) Máximos o mínimos:

Como a < 0 entonces tenemos un máximo, que coincide con el vértice.

4) Crecimiento o decrecimiento:

Como a < 0, tenemos que la función es creciente en el intervalo (- ∞, 5/2) y decreciente en el intervalo (5/2, + ∞).

5) Concavidad o convexidad:

Como a < 0 la función es convexa en todo su dominio.

6) Tabla de valores:

Construimos una tabla de valores con los puntos de corte con los ejes, el vértice y otros puntos alrededor de él.

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