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Inecuaciones de segundo grado

Las inecuaciones de segundo grado con una incógnita tienen la forma:

• ax2 + bx + c > 0 • ax2 + bx + c < 0

• ax2 + bx + c ≥ 0 • ax2 + bx + c ≤ 0

donde a, b, c ∈ R , y a≠0.

Ejemplos de inecuación de segundo grado

x2 - 5x + 6 > 0

En primer lugar, factorizamos la inecuación hallando las raíces de la ecuación de segundo grado: x2 - 5x + 6 = 0

Factorizamos la inecuación:

x2 - 5x + 6 > 0 ⇒ (x - 3)(x - 2) > 0

En segundo lugar, estudiamos el signo que toma la inecuación en cada uno de los intervalos: (- ∞ , 2) , (2 , 3) , (3 , ∞)

Para ver el signo en cada intervalo, sustituimos por un valor cualquiera de dicho intervalo:

En el intervalo (- ∞, 2): x = 0 ⇒ (x - 3)(x - 2) = (0 - 3)(0 - 2) = 6 > 0

En el intervalo (2 , 3): x = 2,5 ⇒ (x - 3)(x - 2) = (2,5 - 3)(2,5 - 2) = -0,25 < 0

En el intervalo (3 , ∞): x = 4 ⇒ (x - 3)(x - 2) = (4 - 3)(4 - 2) = 2 > 0

(- ∞, 2) (2 , 3) (3 , ∞)

+ - +

Buscamos los valores de x tales que (x - 3)(x - 2) > 0 , por tanto, el conjunto de soluciones de la inecuación es:

(-∞ , 2)∪(3 , ∞)

(x + 1)2 + 6x + 2 ≥ 2(x + 3)(x - 2) + 4x

Operamos para suprimir los paréntesis:

x2 + 2x + 1 + 6x + 2 ≥ 2x2 - 4x + 6x - 12 + 4x

Transponemos los términos:

x2 + 2x + 1 + 6x + 2 - 2x2 + 4x - 6x + 12 - 4x ≥ 0

Reducimos los términos semejantes:

- x2 + 2x + 15 ≥ 0

Cambiamos de signo la inecuación, y por tanto, cambiamos de sentido la desigualdad:

x2 - 2x - 15 ≤ 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado: x2 - 2x - 15 = 0

Factorizamos la inecuación:

x2 - 2x - 15 ≤ 0 ⇒ (x - 5)(x + 3) ≤ 0

Estudiamos el signo que toma la inecuación en cada uno de los intervalos: (- ∞ , - 3) , (- 3 , 5) , (5 , ∞)

Para ver el signo en cada intervalo, sustituimos por un valor cualquiera de dicho intervalo:

En el intervalo (- ∞ , - 3): x = - 4 ⇒ (x - 5)(x + 3) = (- 4 - 5)(- 4 + 3) = 9 > 0

En el intervalo (- 3 , 5): x = 0 ⇒ (x - 5)(x + 3) = (0 - 5)(0 + 3) = - 15 < 0

En

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