Flexion De Los Materiales

Coordenadas en el plano

Poligonal Cerrada

Primera versión: 04/01/2006 Última actualización: 08/02/2007

Se efectuó la medición planimétrica de una poligonal cerrada con cinta y teodolito como muestra el siguiente

croquis ilustrativo

X=N

A

P

B

C

D

Y

1200,2m

831m

677,5m

1371,3m

159º 250º

341º

97º

128º 31º

96º

36º

358º

α

Determinación y compensación de los ángulos internos

Problema: Deducir los ángulos internos de la poligonal en función de las lecturas dadas en la figura.

Calcular el error de cierre angular, verificar que esté dentro de tolerancia (T = 5º), y compensar los

mismos si es pertinente.

Solución: Toda figura cerrada de n lados tiene una condición geométrica de cierre angular: la suma de

los ángulos internos es igual a 180º(n-2)

En función de esta condición matemática se procederá a “cerrar la figura” que consiste en compensar los

ángulos deducidos de las mediciones de campo, que como sabemos están provistas de errores.

Antes de compensar la figura hay que deducir los ángulos mediante la diferencia de lecturas; sabiendo

que el limbo aumenta su graduación en sentido horario los ángulos serán:

A = dir AD – dir AB = 96º - 36º = 60º

B = dir BA – dir BC = 128º - 31º = 97º

C = 360º - (dir CD – dir CB) = 360º - (341º - 97º) = 116º

D = dir (DC) – dir (DA) = 250º - 159º = 91º

Debido a los errores de observación, la condición de cierre angular no se cumple, quedando un error

residual llamado “error de cierre angular”. Este error es la diferencia entre el valor que me da las

mediciones y el valor teórico, para nuestro ejemplo:

180º ( 2)

(60º 97º 116º 91º ) 180º (4 2)

364º 360º

4º

i

i

n α

α

α

α

ε α

ε

ε

ε

= − −

= + + + − −

= −

=

Σ

El error total εα = 4º, es decir, la suma de los ángulos interiores que surge de nuestra medición es mayor

al valor teórico y por lo tanto tenemos un exceso; esto significa que de alguna manera hay que sacar en

total 4º.

Un detalle a tener en cuenta antes de pasar a la compensación es la tolerancia T, este valor nos indica el

límite de error que podemos cometer, y de no estar dentro de tolerancia el error de cierre εα implica

efectuar nuevamente las mediciones.

La condición para poder compensar es:

εα < T,

Para nuestro ejercicio 4º < T, por lo tanto podemos proceder a compensar los ángulos

La forma más simple de compensar angularmente una figura cerrada es repartir este error total en partes

iguales a cada ángulo, dividiendo el εα por el número de vértices del polígono, pero aplicando este valor

con el signo contrario al del error:

Los ángulos internos corregidos serán:

A = 60º + c = 60º - 1º = 59º

B = 97º + c = 97º - 1º = 96º

C = 116º + c = 116º - 1º = 115º

D = 91º + c = 91º - 1º = 90º

Por lo tanto, los ángulos compensados ahora verifican la condición de cierre de la figura:

Nota importante: A partir de este momento los ángulos que se utilizarán para los cálculos posteriores

serán éstos valores angulares compensados

Determinación del acimut

Problema: Calcular el acimut de la dirección AP (redondear al grado) basándose en alguno de los datos

conocidos, y luego el acimut de cada lado de la poligonal.

Nota: utilizar la siguiente nomenclatura: ej. acimut de la dirección AB = (AB)

2237, 46 2517,88

3572,55 3734, 45

A P

A P

X m X m

Y m Y m

= =

= =

Solución: Para el caso de una poligonal cerrada las condiciones de arranque son similares que para el

caso de una poligonal abierta, para darle coordenadas a los puntos en un determinado marco de referencia

es necesario contar con alguno de los siguientes elementos:

i) Un punto de coordenadas conocidas en ese marco y el acimut de alguna dirección para orientar

la poligonal en ese marco,

ii) Dos puntos con coordenadas conocidas en ese marco, de los cuales se calculará el acimut de

arranque

Los elementos que tenemos como dato son las coordenadas de dos puntos, a partir de las cuales podemos

calcular el acimut de arranque del primer lado de la poligonal AB.

Como primer paso determinamos el acimut de la dirección AP:

( )

( ) 3734, 45 3572,55 161,9

2517,88 2237, 46 280, 42

( ) 30º

P A

P A

AP arctg Y Y

X X

AP arctg arctg

AP

⎛ − ⎞

= ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠

⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎝ − ⎠

≈

El acimut de arranque de la poligonal es el correspondiente al lado AB que se calcula con ayuda del

acimut AP y del ángulo α

α= 360º - (dirAP – dirAB)

α=38º

Entonces

...