Funcion De Probabilidad

Variable aleatoria

Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E de un experimento aleatorio un número real.

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros.

Ejemplos: Las preguntas acertadas en un test, la puntuación obtenida al lanzar un dado.

Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.

Ejemplos: el tiempo empleado por un vehículo en hacer un recorrido,la altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.

Distribuciones discretas de probabilidad

Función de probabilidad

Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicación que asocia a cada valor de xi de la variable su probabilidad pi.

0 ≤ pi ≤ 1 p1 + p2 + p3 + • • • + pn = Σ pi = 1

Ejemplo: Calcular la distribución de probabilidad de la variable aleatoria ‘puntuaciones obtenidas al lanzar un dado’.

Valor x 1 2 3 4 5 6

Prob p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Representación: La representación de una distribución discreta de probabilidad es un diagrama de barras.

Función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria.

Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la función

F(x) = p(X ≤ x)

La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor.

Ejemplo:alcular la función de distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.

Valor x <1 1≤ x < 2 2≤ x < 3 3≤ x < 4 4≤ x < 5 6≤ x < 6 6≤ x

Prob p 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1

Representación

La representación de un función de distribución de probabilidad es una gráfica escalonada.

Media y varianza de una variable aleatoria discreta

Esperanza matemática o media

Desviación típica

Ejemplo

Calcular la esperanza matemática, la varianza, y la desviación típica, de la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.

x p i x• p i x 2 •pi

1

2

3

4

5

6

1 6

Ejemplo

Sea la v.a discreta teórica que tiene como función de probabilidad la siguiente tabla:

X=xi -1 0 1 2

f(xi)=P(xi) 0,1 0,3 0,2 0,4

Para calcular su función de distribución F(xi) =P(X≤ xi) :

ACTIVIDAD.

En una urna tenemos 6 bolas marcadas con el número +1, seis bolas con el número 0 y 5 bolas con el número -1. Extraemos dos bolas al azar con reemplazamiento y hallamos su producto. Considera la variable aleatoria X = ‘resultado del producto’

a) ¿Es discreta o continua?

b) Calcula su función de probabilidad.

c) Calcula su función de distribución.

d) Determina la esperanza matemática y la desviación típica.

Distribución binomial o de Bernoulli

Un experimento sigue el modelo binomial o de Bernoulli si:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario .

2.La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.

3.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

Variable aleatoria binomial

Para un experimento que sigue el modelo binomial se define la variable aleatoria X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento. A esa variable se la denomina variable aleatoria binomial.

La variable aleatoria binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.

Ejemplo:Lanzamos una moneda 10 veces. El experimento se ajusta al modelo binomial. La variable aleatoria “número de caras” es una variable aleaoria binomial que puede tomar los valores 0,1,2,3,4,….,10.

Distribución binomial

Un experimento que se ajusta al modelo binomial se suele representar por B(n, p), donde n es el número de pruebas de que consta el experimento y p es la probabilidad del suceso A (éxito).La probabilidad de es 1− p, y la representamos por q.

Función de probabilidad de una variable aleatoria binomial

La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bernoulli, es:

n es el número de pruebas. k es el número de éxitos. p es la probabilidad de éxito. q es la probabilidad de fracaso.

Ejemplo:La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

1. ¿Cuál es

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