Funciones

Unidad 2

Funciones

2.1 Definición de Función

Una función es una transformación que asocia a cada número perteneciente a algún subconjunto de los números reales otro número real (uno sólo).

Por ejemplo la función f(x) = 1/x asocia a cada número real distinto de cero su inverso. El subconjunto formado por los números reales que tienen imagen, se llama dominio de la función. En este ejemplo el dominio está formado por todos los números reales distintos del cero. D(f) = R - {0}.

2.2 Representación de funciones (tablas, graficas, formulas y palabras)

Se llama estudiar una función al conjunto de las tareas encaminadas a determinar los elementos que definen su comportamiento para los diferentes intervalos de valores de su dominio. Crecimiento, concavidad, tendencias asintóticas y otras informaciones relacionadas sirven de ayuda para conocer la conducta de las funciones matemáticas y extraer datos de optimización relevantes para los problemas prácticos.

Estudio de una función

Para estudiar el comportamiento de una función, se aplica un procedimiento sistemático que comprende los puntos siguientes:

Determinación de su dominio de definición

Búsqueda de simetrías y periodicidades.

Fijación de los puntos de corte con los ejes.

Cálculo de las asíntotas.

Tendencias de crecimiento y decrecimiento, con determinación de los máximos y los mínimos relativos

Concavidad, convexidad y puntos de inflexión

Análisis del comportamiento de la función en las distintas regiones del plano.

Representación gráfica.

Toda función, al ser una relación especial, se la puede representar gráficamente en un sistema de ejes coordenados cartesianos. Pero para ello se debe tener en cuenta fundamentalmente los conjuntos numéricos donde están definidas y el método a usar para su gráfica.-

El método de la tabla de valores

Este método se lo usa para graficar cualquier tipo de funciones, aunque en algunos casos no es preciso.

Por ejemplo:

Graficar las siguientes funciones:

Armamos una tabla con valores tentativos y centrales de las abscisas, y de la siguiente forma:

x f(x)=2x – 1 Punto

-2 f(-2)=2.(-2).2-1 = -5 P1(-2,-5)

-1 f(-3)=2.(-1)-1= -3 P2(-1,-3)

0 f(0)=2.0-1=-1 P3(0, -1)

1 f(1)=2.1-1=1 P4(1, 1)

2 f(2)=2.2-1=3 P5(2, 3)

2.3 Clasificación de funciones por su naturaleza algebraica y trascendental.

Constituyendo tales subconjuntos el punto en el cual toda función algebraica se une, dando lugar a las polinómicas lineales, cuadráticas, etc. Dichos subconjuntos son posibles observar en el esquema siguiente:

Dichas funciones algebraicas son de gran aplicación en lo que a la construcción de un modelo matemático se refiere ya que generalmente son las más comunes en utilizarse.

.

2.3.1 Función Polinomial.

Una función polinomial es una función en que f(x) es un polinomio en x.

Una función polinomial de grado n es escrita como .

Las funciones polinomiales están definidas y son continuas en todos los números reales.

2.3.2 Función Racional.

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:

.

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones.

2.3.3 Función Raíz.

Las funciones raíz cuadrada las escribimos de la forma:

Cuyo dominio son todos los números reales positivos (0, ∞), lo cual significa que x no puede ser negativo. Si el valor de x fuese negativo no sería una función raíz cuadrada.

La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la mitad de una parábola como las que conocemos de la función cuadrática, pero en este caso el eje de simetría de la media parábola es horizontal (paralelo al eje de las abscisas).

El gráfico de la función raíz cuadrada es:

2.3.4 Función Trigonométrica.

Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.

La función seno

Se denomina función seno, y se denota por f (x) 5 sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.

Gráfica de la función seno.

La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes.

La función coseno

La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.

Gráfica de la función coseno.

La función secante se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.

La función tangente

Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta función se expresa genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente expresada en radianes.

2.3.5 Función Exponencial.

La función exponencial es del tipo:

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

x y = 2x

-3 1/8

-2 1/4

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

3 8

2.3.6 Función Logarítmica.

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha

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