Geometría Analítica - Parábola: Temas Aplicados A La Vida Cotidiana.

Ejercicio No. 1

Uno de los arcos parabólicos que se forma en la entrada principal de la iglesia de San Antonio ubicada en Bethania, Arco que mide en su base 14 metros y su altura máxima 15 metros, es colocado en un eje de coordenadas en donde el eje de simetría coincide con el eje y, la base con el eje x . Hallar la ecuación de la parábola en su forma ordinaria de dicho arco parabólico.

Esta es una imagen de dicho arco:

Trasladando los datos al simulador, tenemos:

Para resolver el problema, teniendo el vértice y dos puntos sobre la parábola, haremos lo siguiente:

Datos Ecuación de la parábola Resolviendo

Vértice:

V= ( h, k )

V= ( 0, 15 )

2 puntos:

( 7, 0 ) y ( -7, 0 ) 〖(x-h)〗^2=4p(y-k) 〖(7-0)〗^2=4p(0-15)

7^2=4p(-15)

49=4p(-15)

49=-60p

p=49/(-60)

Sustituyendo

〖(x-0)〗^2=4p(y-15)

〖(7-0)〗^2=4p(0-15)

p=-0.817

Conociendo el valor de “p”, sustituimos para encontrar la ecuación ordinaria de nuestra parábola.

〖(x-0)〗^2=-3.268(y-15)

Ingresamos la ecuación a nuestro simulador y tenemos:

Ejercicio No. 2

Problema a desarrollar.

En la tabla adjunta se incluyen las alturas máximas y los alcances logrados por los diferentes proyectiles, lanzados todos a la misma velocidad.

Se requiere obtener las ecuaciones de las trayectorias de esos proyectiles, suponiendo que en todos los casos, los proyectiles se disparan desde el punto (0,0).

Encontrar la posición del foco de la parábola en todos los casos y marcarla en la gráfica.

Trayectoria Altura Max. Alcance

1 39 29.6

2 33 46.2

3 25 56.4

4 20 66.6

5 10.5 63.9

6 6.7 60

Para obtener los vértices de cada una de las parábolas, tenemos que encontrar el punto medio de la distancia recorrida de cada proyectil y elevarlo a su altura máxima.

Trayectoria Proyectil 1 Trayectoria Proyectil 2 Trayectoria Proyectil 3

x=(x₁+x₂ )/2

x=(29.6 )/2

x=14.8

y=39 x=(x₁+x₂ )/2

x=(46.2 )/2

x=23.1

y=33 x=(x₁+x₂ )/2

x=56.4/2

x=28.2

y=25

Trayectoria Proyectil 4 Trayectoria Proyectil 5 Trayectoria Proyectil 6

x=(x₁+x₂ )/2

x=(66.6 )/2

x=33.3

y=20 x=(x₁+x₂ )/2

x=(63.9 )/2

x=31.95

y=10.5 x=(x₁+x₂ )/2

x=60/2

x=30

y=6.7

Trasladando los datos al simulador, tenemos:

Una vez conociendo el vértice y uno de los puntos, encontraremos el valor de “p”, para después obtener el foco y directriz de cada una de las trayectorias parabólicas.

Trayectoria Proyectil 1 Trayectoria Proyectil 2 Trayectoria Proyectil 3

〖(x-h)〗^2=4p(y-k)

〖(29.6-14.8)〗^2=4p(0-39)

〖(14.8)〗^2=4p(-39)

219.04=-156p

p=219.04/(-156)

p=-1.404 〖(x-h)〗^2=4p(y-k)

〖(46.2-23.1)〗^2=4p(0-33)

〖(23.1)〗^2=4p(-33)

533.61=-132p

p=533.61/(-132)

p=-4.043 〖(x-h)〗^2=4p(y-k)

〖(56.4-28.2)〗^2=4p(0-25)

...