Integrales Calculará volúmenes de sólidos de revolución.

[pic 3]

apLiCaCiones de La

integraL        i

Objetivos

Al inalizar la unidad, el alumno:

• Utilizará  los  conceptos  de  cálculo  de  áreas  y  longitud  de  arco  en coordenadas cartesianas y polares en la resolución de ejercicios.
• Calculará volúmenes de sólidos de revolución.
• Simplificará y resolverá integrales impropias.

Introducción

e lo estudiado en la unidad seis se tiene que el área de una región se puede obtener por aproximación, esto es, subdividiendo el intervalo a integrar con rectángulos cada vez más delgados o haciendo que la partición tienda a un[pic 4]

número grande, dando como consecuencia que el área de cada uno de ellos tienda a cero, después se procede a sumar las áreas de todos los rectángulos lográndose una muy buena aproximación del área de la región. La integración no es más que la abstracción matemática de este proceso y se puede aplicar al cálculo de una gran variedad de cantidades que se pueden expresar como la suma de un gran número de términos infinitamente pequeños. Asimismo, con la utilización del teorema fundamental del cálculo se logra redondear el concepto de integral definida simplificando con esto su cálculo. A continuación examinaremos varios casos en los que la integración aparece de esta manera de modo natural.

1. Cálculo de integrales definidas

Para calcular una integral definida:

b

• Se aplica la fórmula ∫

f (x)dx = F (b) − F (a) , siendo F(x) una primitiva de f(x).

a

• Por artificios de cálculo. Cuando se emplea una sustitución para calcular una integral definida hay dos maneras de hallar su valor. Primera: los límites de integración se cambian empleando la sustitución, y una vez calculada la integral se remplazan dichos valores en la función así calculada para hallar su valor. El segundo procedimiento es remplazar los límites originales una vez calculada la integral. Cuando la integración conduce a funciones trigonométricas recíprocas, se debe tener cuidado en elegir los valores principales de la función.

Nota. Si la función  f(x) es discontinua en x = α,  con α comprendido entre a  y

b, entonces:

b

∫a  f (x)dx = lim

α −ε

∫a

f (x)dx +

b

∫α +ε '

f (x)dx

si ε y ε ’ tienden a cero.

∞

Si los límites de integración son infinitos se define: ∫

b

f (x)dx = lim ∫

f (x)dx

a        b→∞   a

Ejemplo 1

1

Determina el valor de        (2x2  − x3 ) dx[pic 5]

−1

Solución

Integrando se tiene:

1

(2x2  − x3 ) dx = 2

1

x2 dx −

1         2x

x3dx =

3        x4

−[pic 6]

∫        ∫        ∫                [pic 7][pic 8]

−1        −1

−1        

3        4 −1

evaluando los límites de integración resulta

3        4    1        3        4        3        4

1         2 x    x

(2x2  − x3 )dx =        −

  2(1)        

1

 2(−1) _        

(−1)

∫                        =  

−         −

−         

−1        

3        4 −1

   3

4          3

4        

=  2 − 1  −  − 2 − 1  = 5

+ 11 = 16 = 4

            [pic 9][pic 10][pic 11]

 3         [pic 12]

        12        12        12        3

Ejemplo 2

3     − x

∫−2[pic 13]

...