Metodo Anulador

Método anulador

Resolver la ecuación diferencial D^4 (D-7)y=sen2x-3, cuando y =

Para encontrar y:

y=y_h+y_p

La ecuación es homogénea, tiene como solución general de la función y=e^mx , y por lo tanto su ecuación auxiliar viene dada por:

a_n m^n+a_(n-1) m^(n-1)+⋯a_2 m^2+a_1 m+a_0=0

Aplicando esto, tenemos que D^4 (D-7)=0

Ahora para obtener las raíces:

D^4=0 D-7=0

D=0 D=7

Entonces las raíces son D_1=D_2=D_3=D_4=0,〖 D〗_5=0

Ahora tenemos que la solución para múltiples raíces iguales es la siguiente:

y=C_1 e^(m_1 x)+C_2 xe^(m_2 x)+C_3 x^2 e^(m_2 x)…C_(n-1) 〖x^(n-2) e〗^(m_1 x)+C_n x^(n-1) e^(m_1 x)

Entonces, queda asi

y_h=C_1 e^0x+C_2 xe^0x+C_3 〖x^2 e〗^0x+C_4 x^3 e^0x+C_5 e^7x

y_h=C_1+C_2 x+C_3 x^2+C_4 x^3+C_5 e^7x

Para y_p debemos encontrar un operador diferencial “D” que elimine a sen2x-3

Para esto utilizamos las reglas del método anulador:

Regla 1

Regla 2

Regla 3

〖(D〗^2+4) que elimina a sen2x y (D) para eliminar a -3

■((D^2+4)&(sen2x)&=0@(D)&(-3)&=0)

(D^2+4)(D)=0

De la ecuación anterior obtenemos las tres raíces

■(D^2+4=0& D=0@D_1,2=■(+2i@-2i)& D=0)

Ahora tenemos que la solución parar raíces diferentes es la siguiente:

y=C_1 e^(m_1 x)+C_2 e^(m_2 x)+⋯C_(n-1) e^(m_(n-1) )+C_n e^(m_n x)

Entonces:

y_p=C_1 e^0x+C_2 e^2ix+C_3 e^(-2i)

y_p=C_1+C_2 e^2ix+C_3 e^(-2i)

Utilizando identidad de Euler:

e^(±өi)=cos⁡ө±sin⁡ө

y=c_1 (cos⁡x+i sin⁡x )+c_2 (cos⁡x+i sin⁡x )

y=(c_1+c_2 ) cos⁡x+[i(c_1-c_2 )] sin⁡x

y=A cos⁡x+B sin⁡x

Esta última ecuación es la que se sustituirá cuando obtengamos raíces imaginarias:

y=A cos⁡x+B sin⁡x=C_1 e^ix+C_2 e^(-ix)

Entonces obtendríamos lo siguiente:

y_p=C_1+C_2 cos 2x+〖 C〗_(3 ) sen2x

O lo que es lo mismo:

y_p=A+B cos 2x+C sen2x

Para determinar el valor de A, B y C sustituimos en la ecuación original a y_p.

D^4=16 (sen 2x+cos⁡〖2x)〗

D^4 (D-7)y=sen2x-3

(16 sen 2x+〖16 cos〗⁡〖2x)(〗 A+B cos 2x+C sen2x-7)=sen 2x-3

16 A sen2x+16 B cos⁡〖2x+16 B 〖cos〗^2 2x+16 B sen2x*cos2x+16 C 〖sen〗^2 2x+16 C sen2x〗*cos2x-112 sen 2x-112 cos⁡〖2x=sen 2x-3〗

Despejando ecuaciones:

■(16 C 〖sen〗^2 2x+16 B 〖cos〗^2 2x=0@16 A sen2x+16 B cos⁡〖2x+ 〗 16 B sen2x*cos2x+16 C sen2x*cos2x@)

Sustituyendo en :

y=y_h+y_p

y=C_1+C_2 x+C_3 x^2+C_4 x^3+C_5 e^7x+C_6+C_7 cos 2x+〖 C〗_(8 ) sen2x

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