Metodo De Un Paso

MÉTODO NUMÉRICO

UNIDAD 6

6.1 Métodos de un paso.

Los métodos de Euler.

Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales es conocida como Método de Euler o método de las tangentes. Supongamos que queremos aproximar la solución del problema de valores iniciales y ’ = f(x, y) para el cual y(x0) = y0. Si h es un incremento positivo sobre el eje x, entonces, como se muestra en la figura, podemos encontrar un punto Q(x1, y1) = (x0 + h, y1) sobre la tangente en P (x0, yo) a la curva solución desconocida.

De la ecuación de una recta que pasa por un punto dado, tenemos:

;

o bien

en donde

Si denotamos x0 + h por x1, entonces el punto Q(x1, y1) ubicado sobre la tangente es una aproximación del punto R(x1, y(x1)) que se encuentra sobre la curva solución. Esto es y1 ≈ y(x1).

Por supuesto, la exactitud de la aproximación depende mucho del tamaño del incremento h. Usualmente debemos elegir el tamaño de esta medida de modo que sea “razonablemente pequeña.

Suponiendo que h tiene un valor uniforme (constante), podemos obtener una sucesión de puntos (x1,y1), (x2, y2), . . ., (xn, yn), que sean aproximaciones de los puntos (x1,y(x1)), (x2,y(x2)), . . ., (xn, y(xn)).

Ahora bien, usando el valor de y2 que es la ordenada de un punto sobre una nueva “tangente”, tenemos:

; o bien es decir

En general se tiene que:

En donde xn = x0 + nh.

El método de Euler mejorado o fórmula de Heun.

La fórmula . . . . . . (A)

donde

se conoce como Fórmula de Euler mejorada o Fórmula de Heun.

Los valores de f(xn, yn) y f(xn+1, y٭n+1) son aproximaciones de la pendiente de la curva en (xn, y(xn)) y (xn+1,y(xn+1)) y en consecuencia el cociente puede ser interpretado como una pendiente promedio en el intervalo entre xn, xn+1. Las ecuaciones de (A) se pueden visualizar fácilmente.

En la figura se muestra el caso en que n = 0.

Observe que f(x0, y0) y f(x1, y٭1) son las pendientes de las rectas indicadas que pasan por los puntos (x0, y0) y (x1, y٭1), respectivamente.

Tomando un promedio de estas pendientes obtenemos la pendiente de las rectas oblicuas (flechas).

En lugar de seguir la recta de pendiente m = f(x0, y0) hasta el punto de ordenada y٭1 obtenida por el método de Euler usual, seguimos la recta por (x0, y0) con pendiente mprom hasta llegar a x1.

Examinando la figura, es plausible admitir que y1 es una mejora de y٭1.

Además podríamos decir que el valor de predice un valor de y(x1), mientras que:

, corrige esta estimación.

Métodos de Runge-Kutta

Se

...