Metodo de Simpsom.

Método de Regla de Simpson.

Objetivo

El objetivo principal de esta práctica es resolver un integral definida por el método de Simpson ya sea por segmentos pares o impares que se ajustan a la función.

Marco teórico

[pic 1]

                                                                                    *Aplicación simple (2 segmentos)[pic 2]

                                 1/3 (Segmentos Pares)              *Aplicación Múltiple (mayores a 2)

Reglas

De Simpson[pic 3]

                                                                                       *Simple única (3 segmentos)

                              3/8 (Segmentos impares)        *Compuesta combinada(Son impares >3)

Regla de Simpson de 1/3:

Estas reglas están diseñadas para casos en los que los datos a integrarse están espaciados de manera uniforme.

A continuación se describe la regla de integración de Simpson 1/3 para la “integración cerrada” es decir, para cuando los valores de la función en los extremos de los límites de integración son conocidos.

Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentación más fina, otra forma de obtener una estimación más exacta de una integral es con el uso de polinomios de orden superior para conectar los puntos (en lugar de utilizar líneas para conectarlos).

Las reglas de Simpson son las fórmulas que resultan al tomar las integrales bajo los polinomios que conectan a los puntos.

El método de Integración Simpson 1/3 consiste en tomar el área bajo una parábola que conecta tres puntos, como se muestra en la siguiente gráfica:

[pic 4]

Dada una función tabular con espaciamientos constantes, de la forma:

[pic 5]

La fórmula de integración de Simpson 1/3 es la siguiente:

[pic 6] [pic 7]

La integración de Simpson 1/3 solo se aplica cuando el número de segmentos so pares.

El error se calcula con la siguiente formula

[pic 8]

Regla de simpsom de 3/8:

De manera similar a la obtención de regla del Trapecio y Simpson 1/3, es posible ajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos e integrarlo:

 [pic 9] 

Para obtener …

[pic 10]

 aesta ecuación se le llama Regla de Simpson 3/8 debido a que h se multiplica por 3/8. Ésta es la tercera fórmula de integración cerrada de Newton Cotes. La ecuación anterior también se puede expresar como:

 [pic 11]… (13)

Así los dos puntos interiores tienen pesos de 3/8, mientras que los puntos extremos tienen peso de 1/8. La regla de Simpson 3/8 tiene un error de:

 [pic 12]

Por lo común, se prefiere la regla de Simpson 1/3, ya que alcanza una exactitud de tercer orden con 3 puntos en lugar de los cuatro puntos requeridos en la versión de 3/8. No obstante la regla de 3/8 es útil cuando el número de segmentos es impar.

Quizá esto no sea recomendable, debido al gran error de truncamiento asociado con dicho método. Una alternativa seria aplicar la regla de Simpson de1/3 a los dos primeros segmentos y la regla de Simpson 3/8 a los últimos tres, figura 3. De esta manera se puede obtener un estimado con una exactitud de tercer orden durante todo el intervalo.

[pic 13]

Sistema a resolver

Con la ecuación de la regla de Simpson 1/3 integre f(x)= 0.2 +25 x -200  + 675 – 900  + 400  ; desde a=0  hasta b=0.8    sabiendo que la[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

= 1.640533[pic 18]

Solución:

h=  =  = 0.4[pic 19][pic 20]

Aplicamos la fórmula...

I = (b-a)  = (0.8 - 0) [pic 21][pic 22]

I=1.367467

Et= 1.640533 – 1.367467 = 0.273067

ɛt = |  | * 100% = 16.6 %[pic 23]

Ea=                 [pic 25][pic 26][pic 24]

              = -2400      

Ea=  (-2400) = 0.273067[pic 27]

Ejemplo:

Utilice la ecuación de la regla de Simpson de 1/3 múltiple para estimar la integral de f(x)= 0.2 +25 x -200  + 675 – 900 + 400  desde a=0  hasta b=0.8    sabiendo que la = 1.640533[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

n=4

h=  =  = 0.2[pic 33][pic 34]

I = (b-a)  =[pic 35]

= (0.8) = [pic 36]

I= 1.623467

Et= 1.640533 – 1.623467 = 0.017066

ɛt = |  | * 100% = 1.04 %[pic 37]

Ea=                 [pic 39][pic 40][pic 38]

              = -2400      

...