Modelo Garch

2 Características de los datos financieros

1 La media condicional de los rendimientos de las variables financieras presenta un "escaso componente predecible" que normalmente puede modelizarse mediante un proceso AR(1) o MA(1).2 Clusters de volatilidad: periodos de alta (baja) volatilidad tienden a venir seguidos por otros periodos de alta (baja) (Mandelbrot (1963)).3 Respuesta asimétrica en la volatilidad a shocks positivos y negativos. La volatilidad tiende a incrementarse menos en respuesta a "buenas noticias"(rendimientos m•s altos de lo esperado, ut > 0) que a "malas noticias"(rendimientos menores de lo esperado, ut < 0).4 La distribuciÛn de los rendimientos no es Normal: presenta colas m•s anchasque las de una distribución Normal y un mayor pico en la media (distributionleptok˙rtica).5 Memoria larga: alta correlación entre la volatilidad para periodos muy separados de tiempo.

2 Características de los datos financieros

1 La media condicional de los rendimientos de las variables financieras presenta un "escaso componente predecible" que normalmente puede modelizarse mediante un proceso AR(1) o MA(1).2 Clusters de volatilidad: periodos de alta (baja) volatilidad tienden a venir seguidos por otros periodos de alta (baja) (Mandelbrot (1963)).3 Respuesta asimétrica en la volatilidad a shocks positivos y negativos. Lavolatilidad tiende a incrementarse menos en respuesta a "buenas noticias"(rendimientos m•s altos de lo esperado, ut > 0) que a "malas noticias"(rendimientos menores de lo esperado, ut < 0). 4 La distribución de los rendimientos no es Normal: presenta colas m•s anchasque las de una distribución Normal y un mayor pico en la media (distributionleptok˙rtica).5 Memoria larga: alta correlación entre la volatilidad para periodos muy separados de tiempo.

MODELOS ARCH

Los modelos ARCH fueron propuestos por Engle en 1982. Estos modelos suponen que la varianza marginal o incondicional es constante y que la covarianza entre las variables en periodos de tiempo diferentes sólo depende del tiempo que transcurre entre ellas, hecho que es necesario para que el proceso sea débilmente estacionario o estacionario en covarianzas, mientras que la varianza condicional no es constante. En estos modelos la varianza marginal puede interpretarse como un promedio de las varianzas condicionales.

Para plantear un modelo ARCH vamos a partir de una variable financiera, los rendimientos (yt), calculados como la primera diferencia regular del precio de un activo en dos días consecutivos de mercado.

La expresión general que modeliza las características de las series de rendimientos es:

(1)

yt = μt + σtєt єt~iid (0,1)

donde, μt representa la media (la cual puede ser cero, una constante distinta de cero o depender de varios regresores); σt es un factor que representa la volatilidad medida como la desviación típica condicional; єt es la perturbación aleatoria (ruido blanco) que es independiente y está idénticamente distribuida (iid) con media cero, varianza unitaria y momento de orden cuarto finito. Esta perturbación es una medida del impacto de las noticias no incluidas en el conjunto de información.

Normalmente la media de los rendimientos suele ser cero y aunque podría plantearse una expresión más general para los rendimientos, sin embargo, en el contexto de medición de riesgos de mercado no suele ser habitual. El modelo no está preocupado tanto por realizar una predicción de los rendimientos, como por calcular su rentabilidad. Por eso, en muchos casos el horizonte suele ser a corto plazo (de uno a diez días).

El mayor esfuerzo de estos modelos se centra en la modelización de la varianza condicional, cuya expresión es la siguiente:

(2)

σ2 t = α0 + α1 є2 t-1 + ... + αqє2 t-q

Este modelo es un ARCH de orden q, ya que la varianza condicional está expresada como una función lineal de q valores observados pasados de la perturbación.

En los modelos ARCH(q) se exige que α0>0, para evitar que el proceso degenere si en algún momento del tiempo la variable es igual a cero, y además, que los, αi≥0, i=1,..., q, para garantizar que la varianza sea positiva. Esta ecuación implica que, si los valores pasados de єt hasta el periodo t-1 son grandes, entonces la varianza de la observación en el periodo t condicionada al conjunto de información hasta t-1, también será grande. Además, si el valor de yt es pequeño, disminuirá la varianza condicional de la observación siguiente y dará lugar a que la observación siguiente sea pequeña. Esto permitirá que la serie presente rachas de alta volatilidad alternando con otras de baja volatilidad y viceversa.

Este proceso yt, donde σ2 t es un ARCH(q) es una martingala en diferencias y la media marginal y la media condicional son constantes e iguales a cero y está serialmente incorrelacionada. Además, su varianza marginal, (σ2 = E (y2 t)), es constante e igual a,

Mostrar/Ocultar

donde, Mostrar/Ocultar , para que esta varianza marginal exista y el proceso sea estacionario en covarianza.

Ejemplo. Vamos a plantear un ejemplo sencillo de estimación para un ARCH(1) utilizando los datos del EUROSTOXX50, en el periodo muestral comprendido entre el 01/01/1987 y el 31/12/2008.

Las ecuaciones

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