PARA ESTUDIANTES

Ejemplo 1: El conjunto A= {(x; y) ∈ IR2: x > 0} es un abierto de IR2 con la distancia

usual.

(IR2, d)

Considero un punto (genérico) P0 ∈ A, entonces B (P0, X0) ⊂ A y para demostrar

que la bola está totalmente incluida en A:

tomo un punto P cualquiera P ∈ B (Po, X0)

d (P, P0 )< X0 (por def de bola)

(X0 – X)2 + (Y0-Y)2< X02 (aplicando def de distancia y elevando al cuadrad)

(X0-X) < X0 ( en este paso nose que propiedad se aplica)

-X< X0- X0 (despejando)

-X< 0

X> 0

y como P ∈ A sabemos que la B(P0, X0) ⊂ A y como P0 es cualquier punto de A, podemos decir que todos los puntos de A son interiores.

Luego A es abierto

Ejemplo 2: El conjunto A = {(x; y) ∈ IR2 : 0≤ x ≥1; 0≤ y ≥1} no es un abierto de

IR2 con la distancia usual. Por ejemplo, ninguna bola abierta centrada en el origen, o en cualquier punto de la frontera, está totalmente contenida en A.

Esto es verdadero; tomando un x ∈ Fr (A) ⬄ es punto de frontera

(Por def de front ) ∀ Ε > 0 B(x, Ε) ⋂ A ≠ ⌀ ˄ B(x, Ε) ⋂ AC ≠ ⌀

Eligiendo un punto de la frontera (1,1) ∈ A, ∀ Ε > 0 B ((1,1), E) ⋂ A ≠ ⌀ ˄ B( (1,1), E) ⋂ AC ≠ ⌀, tomando el punto P (1+E, 1+E) que ∈ B((1,1), E) pero ∉ A.

Luego p no es interior A no es abierto.

Ejemplo 3: El conjunto A= {(x, y) ∈ IR2: 0< x >1, 0< y >1} es un abierto de IR2 con la distancia usual.

Si P0=(x0, y0) ∈ A y la distancia min que consideramos E=min{x0, 1-x0; y0, 1-y0} entonces B( P0, E) ⊂ A y para demostrar que la bola está totalmente incluida en A, tomamos un punto x ∈ B(P0, E) d(P0,x) < E y r = (E – d( P0,x)) >0, afirmamos B(x, r)⊑B(P0,E) y como x ∈ A y sabemos que B(P0,E) ⊂ A y como P0 es cualquier punto de A , podemos decir que todos sus puntos son interiores.

Ejemplo 4: A = Q no es un abierto de IR con la distancia usual, porque cualquier bola centrada en un valor racional contiene necesariamente también valores irracionales

Esto es verdadero por la densidad de los IR

Considero x,y ∈ IR siendo x≠y

∃ E>0 / h ∈ Q ˄ E ∈ IR- Q y h,E ∈ (x,y) , al generar la bola queda centrada en el valor racional h pero el radio toma valores que no son racionales.

LOS GRAFICOS NO LOS HICE PORQUE NO PUDE ENLACOMPU PEROCUANDO

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