¿QUÉ ES LA DIVISIÓN SINTÉTICA?

La División Sintética es un procedimiento abreviado para realizar la división de un polinomio P(x) = anxn + an - 1xn - 1 +...+ a1x + a0 de grado n, esto es an 0, entre un polinomio lineal x - c. El procedimiento para realizar esta división es muy simple, primero se toman todos los coeficientes del polinomio P(x) y la constante c, con estos se construye una especie de ''casita'' que ayudará en el proceso, el polinomio se ordena en orden decreciente y se agregan cero en los coeficientes faltantes.

c

Lo primero es ''bajar'' el coeficiente an, a este coeficiente también lo denotamos por bn - 1, luego se multiplica por la constante c, el resultado se coloca en la segunda columna y se suma al siguiente coeficiente an - 1, al resultado lo denotamos bn - 2

- cbn-1 … c

an an-1+cbn-1

bn-1 bn-2

Este último resultado se multiplica nuevamente por c y se le suma al coeficiente an - 2 y el proceso se repite hasta llegar a a0. Los resultados parciales que se obtienen se denotan por bn - 1, bn - 2, ... , b1, b0 (se inicia con bn - 1 pues el cociente tiene un grado menos que el dividendo), y el último valor obtenido se denota por r, pues es el residuo de la división, de esta manera lo que se obtiene es

an an -1 … a1 a0

- cbn-1 … c

an an-1+cbn-1 a1+cb1 a0 + cb0

bn-1 bn-2

Así, el cociente de la división de P(x) por x - c es bn - 1xn - 1 + bn - 2xn - 2 + ... + b1x1 + b0 con un residuo r, en donde los coeficientes se detallan como

bn - 1 = an

bn - 2 = cbn - 1 + an - 1

bn - 3 = cbn - 2 + an - 2

…

b1 = cb2 + a2

b0 = cb1 + a1

r = cb0 + a0

EJEMPLO 1 (División Sintética)

Realice la división de P(x) = 3x4 + 2x3 - x2 + 4x + 2 entre x + 2.

Solución

Al realizar el algoritmo de la división sintética con los coeficientes de P(x) y -2 como valor de c se obtiene

3 2 -1 4 2

-6 8 -14 20 -2

3 -4 7 -10 22

Así, el cociente de la división de P(x) entre x + 2 es 3x3 - 4x2 + 7x - 10 y se obtiene un residuo r = 22.

Uso de lo división sintética para determinar un cociente y un residuo

Con la división sintética determinar el cociente y el residuo de dividir el polinomio 2x4 + 5x3 − 2x − 8 entre x + 3.

Solución

Como el divisor es x + 3, la c de la expresión x − c es − 3. Por lo tanto, la división sintética tiene la forma siguiente:

Como ya se indicó, los primeros cuatro números del tercer renglón son los coeficientes del cociente q(x), y el último número es el residuo r. Así,

q(x) = 2x3 − x2 + 3x − 11 y r = 25

Uso de la división sintética para calcular valores de un polinomio

Si f(x) = 3x5 − 38x3 + 5x2 − 1, calcular f(4) por medio de la división sintética.

Solución

De acuerdo con el teorema del residuo, f(4) es el residuo cuando se divide f(x) entre x − 4. Al hacer la división sintética, se obtiene

En consecuencia, f(4) = 7I9.

Se puede utilizar la división sintética para ayudar a calcular los ceros de polinomios. De acuerdo con el método que se presentó en este ejemplo f(c) = 0 si y sólo si, el residuo de la división sintética entre

x − c es 0.

Uso de la división sintética para calcular ceros de un polinomio

Demostrar que −11 es un cero del polinomio

f(x) = x3 + 8x2 − 29x + 44.

Solución

Dividiendo sintéticamente entre x − (− 11)

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