Regla de tres simple

Regla de tres simple

En la regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B, y conociendo un tercer valor X, calculamos un cuarto valor. Y,4

\begin{array}{ccc} A & \longrightarrow & B \\ X & \longrightarrow & Y \end{array}

La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa, será directa cuando a un mayor valor de A habrá un mayor valor de B, y será inversa, cuando se dé que, a un mayor valor de A corresponda un menor valor de B, veamos cada uno de esos casos.

Regla de tres simple directa

Relación directa.svg

La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que:

\frac{B}{A} = \frac{Y}{X} = k

Donde k es la constante de proporcionalidad, para que esta proporcionalidad se cumpla tenemos que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Que podemos representar:

\left . \begin{array}{ccc} A & \longrightarrow & B \\ X & \longrightarrow & Y \end{array} \right \} \rightarrow \quad Y = \cfrac{B \cdot X}{A}

y diremos que: A es a B directamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de B por X dividido entre A.

Imaginemos que se nos plantea lo siguiente:

Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones?

Este problema se interpreta de la siguiente manera: la relación es directa, dado que, a mayor número de habitaciones hará falta más pintura, y lo representamos así:

\left . \begin{array}{ccc} 2 \; \text{habitaciones} & \longrightarrow & 8 \; \text{litros} \\ 5 \; \text{habitaciones} & \longrightarrow & Y \; \text{litros} \end{array} \right \} \rightarrow \quad Y = \cfrac{8 \; \text{litros} \cdot 5 \; \text{habitaciones} }{2 \; \text{habitaciones} } = 20 \; litros

Regla de tres simple inversa

Relación inversa.svg

En la regla de tres simple inversa,5 en la relación entre los valores se cumple que:

A \cdot B = X \cdot Y = e

donde e es un producto constante, para que esta constante se conserve, tendremos que un aumento de A, necesitara una disminución de B, para que su producto permanezca constante, si representamos la regla de tres simple inversa, tendremos:

\left . \begin{array}{ccc} A & \longrightarrow & B \\ X & \longrightarrow & Y \end{array} \right \} \rightarrow \quad Y = \cfrac{A \cdot B}{X}

y diremos que: A es a B inversamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de A por B dividido por X.

Si por ejemplo tenemos el problema:

Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores en levantar el mismo muro?

Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más obreros trabajen, menos horas necesitarán para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo).

8 \; trabajadores \cdot 15 \; horas = 5 \; trabajadores \cdot Y \; horas = 120 \; horas \; de \; trabajo

El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 120 horas, que pueden ser aportadas por un solo trabajador que emplee 120 horas, 2 trabajadores en 60 horas, 3 trabajadores lo harán en 40 horas, etc. En todos los casos el número total de horas permanece constante.

Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad inversa, y deberemos aplicar una regla de tres simple inversa, tenemos:

\left . \begin{array}{ccc} 8 \; trabajadores & \longrightarrow & 15 \; horas \\ 5 \; trabajadores & \longrightarrow & Y \; horas \end{array} \right \} \rightarrow \quad Y = \cfrac{8 \; trabajadores \cdot 15 \; horas }{5 \; trabajadores } = 24 \; horas

Regla de tres compuesta

En ocasiones el problema planteado involucra más de tres cantidades conocidas, además de la desconocida.6 Observemos el siguiente ejemplo:

Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas, ¿cuántos trabajadores se necesitarán para levantar un muro de 75 metros en 26 horas?

En el problema planteado aparecen dos relaciones de proporcionalidad al mismo

...