Regresion Y Correlacion Lineal

Regresión Lineal:

En estadística la regresión es un método matemático que modela la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xiy un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

Xiy un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

: Variable dependiente, explicada o regresando.

: Variables explicativas, independientes o regresores.

: Parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.

Donde es la intersección o término "constante", las son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

Ejemplo de una regresión lineal con una variable dependiente y una variable independiente.

MODELO DE REGRESION LINEAL:

El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicitas (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas que generen un hiperplano de parámetros desconocidos:

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donde es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explicita, el hiperplano es una recta:

El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos , de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación i-ésima (i= 1,... I) cualquiera, se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicitas (las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).

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Los valores escogidos como estimadores de los parámetros , son los coeficientes de regresión sin que se pueda garantizar que coincida n con parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en

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Los valores son por su parte estimaciones o errores de la perturbación aleatoria.

TIPOS DE REGRESION LINEAL:

Existen diferentes tipos de regresión lineal que se clasifican de acuerdo a sus parámetros:

Regresión lineal simple

Sólo se maneja una variable independiente, por lo que sólo cuenta con dos parámetros. Son de la forma:4

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donde es el error asociado a la medición del valor y siguen los supuestos de modo que (media cero, varianza constante e igual a un y con ).

Análisis

Dado el modelo de regresión simple, si se calcula la esperanza (valor esperado) del valor Y, se obtiene:5

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Derivando respecto a y e igualando a cero, se obtiene:5

(9)

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Obteniendo dos ecuaciones denominadas ecuaciones normales que generan la siguiente solución para ambos parámetros:4

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(12)

La interpretación del parámetro medio es que un incremento en Xi de una unidad, Yi incrementará

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