Sistema axiomático I

Sistema axiomático I:

En un sistema formal se formulan explícitamente todas las reglas de deducción (reglas que transforman axiomas en teoremas). Un Sistema Formal Puro consiste de:

i) Un lenguaje simbólico

ii) Un conjunto bien definido de axiomas

iii) Reglas precisas para transformar axiomas, y derivar teoremas.

Se podría creer que formalizar la matemática equivale a despojarla de su contenido y a convertirla en una mera manipulación mecánica y trivial de símbolos. Con la formalización se llega a una “característica universal”.

Acertijo MU

Presentamos un ejemplo de sistema formal que carece de semántica, esto es que los símbolos y las hileras formadas por ellos no reciben ninguna interpretación. Utilizaremos solamente las letras M, U e I.

Reglas

1.- Toda palabra se puede triplicar

2.- Una U se puede reemplazar por II

3.- Cuatro I’s seguidas se pueden eliminar

4.- Después de una M se puede insertar una U

5.- Si en una palabra aparece IMU puede quitarse la M.

El juego trata de partir de una palabra y llegar a otra, aplicando las reglas adecuadas tantas veces como sea necesario. Y nuestro acertijo es obtener MU a partir de MI.

Después de intentarlo, nos daremos cuenta que no es posible hacerlo. El acertijo MU se resuelve saliéndose del sistema. Hemos tratado de jugar el juego y, ¿si nos preguntáramos un poco acerca del juego mismo?

Por un lado, todos los teoremas empiezan por M y esto nos sugiere no seguir las reglas, sino analizar lo que ellas dicen. Interesa analizar el número de I´s que tiene los teoremas que se generan, partiendo que el axioma tiene solamente 1.

Aplicando las 5 reglas no se afecta la paridad del teorema. Así que si comenzamos con un número impar de I´s (las del axioma, es decir 1) y aplicamos cualquier cantidad de reglas, el numero de I´s de todos los teoremas que se produzcan seguirá siendo impar. El número de I´s del Mu es par, luego no puede producirse a partir de este axioma y con estas reglas.

Sistema axiomático II:

Consideremos un ornamento S que consiste de una cierta cantidad de cuentas arregladas en un conjunto de alambres, de acuerdo con las siguientes reglas:

1. Cada par de alambres en S está en una y solo una cuenta

2. Cada cuenta en S está en dos y sólo dos alambres

3. El número total de alambres en S, es cuatro

DEDUCIR de las anteriores reglas, los siguientes hechos:

Hecho 1. En cualquier par de alambres está una y solo una cuenta

Hecho 2. Cualquier cuenta está en dos y sólo dos alambres

¿Cuál es la cantidad exacta de cuentas en S? Establecerla como hecho 3.

¿Cuál es la cantidad exacta de cuentas en cada alambre de S? Establecerla como hecho 4.

RESCRIBIR tanto las tres reglas como los cuatro anteriores hechos, sustituyendo la palabra “alambres” por la palabra “líneas”, y “cuentas” por “puntos”.

Los tres enunciados resultantes de las tres reglas, son llamados axiomas.

Los hechos 1-2 suelen llamarse lemas

Los hechos 3-4 suelen llamarse teoremas

RESCRIBIR tanto las tres reglas como los cuatro anteriores hechos, sustituyendo la palabra “alambres” por la palabra “comités”, y “cuentas” por “hombres”.

Sistema axiomático III:

Consideremos un conjunto de hombres reunidos en un salón S, y formando comités de acuerdo a las siguientes reglas:

1. Si y son hombres distintos de S, existe uno y sólo un comité que contiene a ambos.

2. Cualesquiera dos comités tienen al menos un hombre en común

3. Existe al menos un comité

4. Cualquier comité contiene exactamente tres hombres de S

5. No todos los hombres pertenecen al mismo comité

Con esa información, responder las siguientes preguntas:

¿Cuántos hombres hay exactamente en S?

¿A cuántos comités pertenece cada hombre de S?

RESCRIBIR tanto las cinco reglas como las dos respuestas a las dos preguntas anteriores, sustituyendo la palabra “comités” por la palabra “líneas”, y “hombres” por “puntos”.

Sistema axiomático IV:

El conjunto F no vacío se llama campo, si en él están definidas dos operaciones binarias: SUMA ( ) y PRODUCTO ( ), las cuales cumplen todos y cada uno de los siguientes ONCE axiomas:

S1.

S2.

S3.

S4. Cada elemento , tiene un elemento inverso

:

S5.

P6.

P7.

P8.

P9. Cada elemento , , tiene un elemento inverso

:

P10.

11. ……. Propiedad distributiva

Ejercicio. Determinar si el conjunto , en el cual se han definido dos operaciones de acuerdo a las siguientes tablas, es o no un campo.

 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

Ejercicio. Determinar si el conjunto , en el cual se han definido dos operaciones de acuerdo a las siguientes tablas, es o no un campo.

 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 1

 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 2 0

2 0 3

3 0

AXIOMAS DE LA IGUALDAD EN UN CAMPO K

Sean cualesquiera . La igualdad es una relación definida en K, que cumple los siguientes axiomas:

I1. a = a ………………………………….

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