Sistemas De Segundo Orden

Se obtienen las frecuencias naturales que se utilizarán para escribir la solución homogénea de la ecuación diferencial, esto es:

P(λ)=λ^2+2αλ+ω_n^2=0

cuyas raíces (frecuencias naturales, en el contexto de sistemas) se pueden calcular utilizando la fórmula para ecuaciones de segundo grado:

λ_1,2=(-2α(_-^+)√((2α)^2-4(1)(ω_n^2 )))/(2(1))

o bien:

λ_1,2=-α(_-^+)√(α^2-ω_n^2 )

de la expresión anterior se deduce con facilidad que, dependiendo de los valores de α ,(factor de amortiguamiento real) y de wm(frecuencia natural de amortiguamiento), las raíces pueden ser:

-Reales diferentes

-Reales e iguales

-Complejas

-Imaginarias

a partir de las cuales se definen cuatro comportamientos característicos que pueden tener los sistemas de segundo orden:

a) Frecuencias naturales reales diferentes.

Condición.

α>ω_n

o bien

ζ>1

La solución homogénea asociada a la ecuación diferencial es de la forma:

y(t)_hom=k_1 e^(λ_1 )+k_2 e^(λ_2 t)

al graficar la solución contra el tiempo se obtiene :

En este caso se dice que el sistema tiene un comportamiento SOBRE-AMORTIGUADO.

b) Frecuencias naturales reales e iguales

Condición.

α=ω_n

o bien

ζ=1

La solución homogénea asociada a la ecuación diferencial es de la forma:

y(t)_hom=k_1 e^(λ_0 t)+k_2 te^(λ_0 t)

al graficar la solución contra el tiempo se obtiene:

En este caso se dice que el sistema tiene un comportamiento CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO.

c) Frecuencias naturales complejas.

Condición.

0<α<ω_n

o bien

0<ζ<1

La solución homogénea asociada a la ecuación diferencial es de la forma:

y(t)_hom=k_1 e^(-αt) e^jβt+k_2 e^(-αt) e^(-jβt)

o bien:

y(t)_hom=e^(-αt) (k_1 e^jβt+e^(-jβt))

recuérdese:

e^jx=cosx+jsenx

e^(-jx)=cosx-jsenx

de modo que la solución se escribe como:

y(t)_hom=e^(-αt) (k_1 (cosβt+jsenβt)+k_2 (sosβt-jsenβt))

y agrupando:

y(t)_hom=e^(-αt) ((k_1+k_2 )cosβt+j(k_1+k_2 )senβt)

para tener una función y(t)_hom real o de variable real, es necesario que, k1y k2sean números complejos conjugados , esto es:

k_1=a+jb ; k_2=a-jb

de modo que

k_1+k_2=a+jb+a-jb=2a=c_1

j(k_1+k_2 )=j(a+jb-a+jb)=j^2 (2b)=c_2

así, la solución homogénea se escribe como:

y(t)_hom=e^(-αt) (c_1 cosβt+c_2 senβt)

al graficar la solución contra el tiempo se obtiene:

En este caso se dice que el sistema tiene un comportamiento SUBAMORTIGUADO.

d) Frecuencias naturales imaginarias:

Condición.

α=0

o bien

ζ=0

La solución homogénea asociada a la ecuación diferencial es de la forma:

y(t)_hom=k_1 e^jβ+〖k_2 e〗^(-jb)

siguiendo un procedimiento idéntico al del caso subamortiguado

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