TERCERA PARTE: PROBABILIDAD

TERCERA PARTE: PROBABILIDAD

● Como vimos en la introducción del curso, uno de los objetivos de la estadística es tratar de sacar conclusiones sobre las características de una variable en una población (a la que no podemos acceder completamente) a partir de una muestra. → Inferencia

Ejemplo: Para conocer la intención de voto de un país, utilizo la información de la intención de voto de un conjunto de individuos entrevistados al azar.

● Como al hacer inferencia no conocemos exactamente cuál va a ser exactamente el comportamiento en la población, siempre existirá incertidumbre.

● Para poder “manejar” esa incertidumbre y hacer inferencia necesitaremos utilizar la idea de modelo probabilístico, de Probabilidad.

TEMA 8: PROBABILIDAD

● La probabilidad es la disciplina que se encarga del estudio, descripción y modelización de los fenómenos o experimentos aleatorios.

● En un experimento aleatorio el resultado depende del azar y está caracterizado por:

- todos sus posibles resultados se conocen con anterioridad

- no se puede predecir su resultado

- puede repetirse en condiciones idénticas

Ejemplos: tirar una moneda, tirar un dado.

● Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Lanzar moneda: E={C,X}

Lanzar un dado: E={1,2,3,4,5,6}

Lanzar dos veces una moneda: E={CC,CX,XC,XX}

Lanzar dos monedas iguales: E={CC,CX,XX}

¿Lanzar 2 veces un dado? → Ejemplo 13.3 Peña y Romo

● Suceso o suceso aleatorio: es cualquier subconjunto del espacio muestral, es decir, cualquier resultado o conjunto de resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplos:

- En el experimento lanzar un dado E={1,2,3,4,5,6} el suceso “sale un número par” es A={2,4,6}.

- En el experimento lanzar dos veces una moneda: E={CC,CX,XC,XX}:

+ el suceso “sale al menos una cara” es A={CC,CX,XC}

+el suceso “no sale cruz” es B={CC}→es un suceso elemental porque sólo tiene un elemento.

● Al espacio muestral E se le llama suceso seguro porque siempre ocurre. Al conjunto vacío sin elementos se le llama suceso imposible.

● Al suceso “no ocurre A” se le llama suceso contrario o complementario de A y lo forman todos los resultados que no pertenecen a A:

Ejemplo:

- En el experimento lanzar un dado E={1,2,3,4,5,6} el suceso A “sale un número par” es A={2,4,6} y el “suceso contrario de A” será {1,3,5}, es decir, “sale un número impar”.

● Dados dos sucesos A y B tendremos:

- suceso “A y B” o : si ocurren los dos a la vez

- suceso “A o B” o : si ocurre al menos uno de los dos

- son sucesos incompatibles si es imposible que ocurran a la vez: “A y B”= .

Ejemplos:

En el experimento lanzar un dado E={1,2,3,4,5,6}:

- “sale un número par” es A={2,4,6}

- “sale un número mayor que 3” es B={4,5,6}

- “sale un número impar” es C={1,3,5}

- “A y B”={4,6}

- “A o B”={2,4,5,6}

- “A y C” es imposible luego A y C son sucesos incompatibles.

Ver Figura 13.2 de Peña y Romo

● ¿Cómo asignamos probabilidades a los sucesos? Por ejemplo, si lanzamos un dado ¿cuál es la probabilidad de que salga un número par? → a partir de las características del experimento.

● Vamos a ver cómo se hace en el caso más sencillo, el de espacios equiprobables. Se dice que un experimento aleatorio es equiprobable si todos sus resultados tienen la misma probabilidad de aparecer. En este caso:

Regla de Laplace:

Ejemplo: Experimento lanzar un dado

Espacio muestral E={1,2,3,4,5,6}

Suceso “sale par” A={2,4,6} luego:

Ejemplo: Experimento lanzar dos veces una moneda

Espacio muestral E={CC,CX,XC,XX}

- Suceso “sale al menos una cara” A={CC,CX,XC} luego:

- Suceso “salen dos cruces” B={XX } luego:

- Suceso “A o B”= E={CC,CX,XC,XX} luego:

- Suceso “A y B”={ } luego:

● Propiedades de la probabilidad:

- Dado un suceso cualquiera A se cumple:

-

- : la probabilidad del espacio muestral (suceso seguro) es 1

- Si A y B son dos sucesos cualesquiera (no incompatibles) se cumple que:

- Si A y B son sucesos incompatibles se cumple que:

-A partir de aquí, como los sucesos A y “no A” son incompatibles, y como el suceso “A o no A” es el espacio muestral,

se obtiene que:

Probabilidad condicionada

● La probabilidad de que ocurra un suceso A si sabemos que ha ocurrido un suceso B es:

Ejemplo:

Se lanza dos veces una moneda: E={CC,CX,XC,XX}. Sabemos que ha ocurrido el suceso “sale al menos una cara”, es decir, B={CC,CX,XC}

La probabilidad de que ocurra el suceso A “en el primer lanzamiento sale cara”={CC,CX} condicionada por el suceso B será:

ya que “A y B”={CC,CX}.

La probabilidad de A que es 1/2 se transforma en 2/3 al incorporar la información de que sale al menos una cara.

Ejercicio 14.1 (de Peña y Romo)

Se lanza dos veces un dado. Se sabe que en el primer lanzamiento ha salido un tres.

a) Hallar la probabilidad de que la suma de los dos resultados sea 8, empleando la definición de probabilidad condicionada.

Al lanzar dos veces un dado el espacio muestral tendrá 36 elementos y será:

E={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

Llamamos A=”el primer y el segundo resultado suman 8” y B=”el primer resultado es un tres”, luego nos piden:

Tendremos entonces:

A={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)} con

B={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)} con

A y B={(3,5)} con

Por tanto:

b) Considerar el suceso B=”en el primer lanzamiento ha salido un tres” como el nuevo espacio muestral y calcular la probabilidad de que “ambos

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