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Introducción

Buscamos métodos que nos permitan obtener valores de variables aleatorias que sigan determinadas distribuciones de probabilidad a partir de los números aleatorios generados, que siguen la distribución Uniforme en el intervalo (0,1).

Hay cuatro métodos generales de generación de variables aleatorias y una serie de métodos particulares de las distintas distribuciones.

La facilidad de aplicación de dichos métodos, así como el coste computacional asociado a los mismos, varía mucho según la familia de variables aleatorias a las que se apliquen.

Normalmente existen varios algoritmos que se pueden utilizar para generar valores de una determinada distribución, y diferentes factores que se pueden considerar para determinar qué algoritmo utilizar en un caso particular. Desafortunadamente dichos factores suelen entrar en conflicto unos con otros y a veces se ha de llegar a una solución de compromiso.

Algunos de estos factores son los siguientes:

• Exactitud: se han de obtener valores de una variable con una precisión dada. A veces se tiene suficiente con obtener una aproximación y otras no.

• Eficiencia: el algoritmo que implementa el método de generación tiene asociado un

tiempo de ejecución y un gasto de memoria. Elegiremos un método que sea eficiente

en cuando al tiempo y a la cantidad de memoria requeridos

• Complejidad: Buscamos métodos que tengan complejidad mínima, siempre y cuando se garantice cierta exactitud.

• Robustez: el método tiene que ser eficiente para cualquier valor que tomen los parámetros de la distribución que siga la variable aleatoria.

• Facilidad de implementación

Concepto de variable aleatoria

La generación de cualquier variable aleatoria se va a basar en la generación previa de una distribución uniforme (0,1), visto en el tema anterior. En este capítulo vamos a estudiar ciertas transformaciones o algoritmos que nos van a transformar dichos números generados en valores de otras distribuciones.

Métodos generales

Los métodos generales para la generación de variables aleatorias son: Método de Inversión, de Aceptación-Rechazo, de Composición y de Convolución. A continuación pasamos a estudiarlos.

- Método de Inversión

La función de distribución (también llamada función de distribución acumulativa), F(x), de una variable aleatoria X es definida para cada número real x como sigue:

Una variable aleatoria X se dice que es discreta si puede tomar unos valores determinados, no pudiendo tomar ningún valor comprendido entre dos consecutivos. Así la variable sólo puede tomar un conjunto finito de valores x1, x2, ..., xn. La probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor xi es dado por:

y se tiene que:

donde la sumatoria significa la suma de todas las probabilidades p(x1), p(x2),... Todas las probabilidades acerca de X se pueden calcular desde p(x), a la cual se le llama función de probabilidad para la variable discreta X. Si I=[a,b], donde a y b son números reales tales que a £b, entonces:

La función de distribución F(x) para la variable discreta X es dada por:

El método de inversión va a aprovechar las propiedades de la función de distribución para obtener un valor de la variable aleatoria a partir de un número aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo (0,1).

Vamos a ver en qué consiste dicho método tanto para el caso en el que la variable aleatoria sea continua como para cuando es discreta.

Caso continuo

En este caso la función de distribución es continua. Vamos a utilizar un número aleatorio u, uniformemente distribuido en (0,1) y vamos a suponer que es el valor que toma la función de distribución en un punto x. Tal punto va a ser el valor de la variable que queremos generar. Al ser la función de distribución continua, vamos a encontrar un valor de x para cualquier u.

Caso discreto

En este caso la función de distribución es discontinua y tiene una forma escalonada. Su fórmula es:

Al ser discreta no hay fórmula de su inversa y puede ocurrir que dado un u no se encuentre imagen x de la función, sino que este valor esté entre dos valores posibles.

Lo que se va a hacer en este caso es que dado un u se va obtener como salida un xj tal que:

Este método es un método sencillo de aplicar, siempre y cuando la función de distribución no tenga una fórmula complicada y utiliza sólo un número aleatorio para calcular un valor de la variable aleatoria.

Método de Aceptación Rechazo

Este método es más probabilístico que el anterior.

Los métodos de inversión, composición y convolución son métodos de generación directos, en el sentido en que tratan directamente con la función de distribución. El método de aceptación-rechazo es menos directo en su aproximación.

Método de composición

Este método va a poder ser aplicado cuando la función de densidad es fácil de descomponer en un conjunto de trozos,

siendo n el número de trozos en los que se ha dividido la función.

Cada uno de los fragmentos se puede expresara como producto de un función de distribución y un pesoi i wit (x) = f (x) y la función de distribución global.

Método de convolución

Muchas variables aleatorias incluyendo la normal, binomial, poisson, gamma, erlang, etc, se pueden expresar de forma exacta o aproximada mediante la suma lineal de otras variables aleatorias.

El método de convolución se puede usar siempre y cuando la variable aleatoria x se pueda expresar como una combinación lineal de k variables aleatorias:

En este método se necesita generar k números aleatorios (u1,u2,...,uk) para generar (x1,x2,...xk) variables aleatorias usando alguno de los métodos anteriores y así poder obtener un valor de la variable que se desea obtener por convolución.

Ejemplos de aplicación de este método los veremos cuando veamos métodos particulares de cada una de las distribuciones más utilizadas.

Métodos concretos para distribuciones continuas

La distribución uniforme en el intervalo (a,b) (U(a,b)) tiene como función de densidad y de distribución las siguientes:

Como los números aleatorios que generamos siguen la distribución uniforme en el intervalo (0,1), para generar valores de una distribución uniforme en cualquier intervalo (a,b) sólo tenemos que hacer un cambio de intervalo.

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