Trigonomrtria

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

Una mañana cualquiera, el profe nos recibió con una amplia sonrisa, lo cual nos hizo sospechar de alguna macabra maniobra, y así fué. Nos pidió que resolviéramos los siguientes ejercicios, aplicando todos nuestros conocimientos geométricos adquiridos (te invitamos a que tú también intentes resolverlos).

1. Calcula, en el triángulo de la figura, el valor del ángulo CAB siendo AC perpendicular a BC.

2. Calcula, en el triángulo de la figura,la medida del segmento AB, siendo el ángulo ACB recto.

Después de dejarnos 10 minutos pensando, más colgados que ampolleta, y temiendo ya un 1 en el libro de clases, nos dijo, sonriendo triunfalmente: "llegó el momento de estudiar trigonometría".

TRIGONOMETRÍA

Es el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. Esto se realiza a través de las llamadas funciones trigonométricas de los ángulos (o goniométricas).

Ante nuestras caras de interrogación, lo primero que nos explicó Danny (a esa altura, al profe, ya podíamos llamarlo así) es que  trigono significa triángulo y metron, medida, o sea por lógica (somos capos), trigonometría corresponde a "medida de triángulos". Claro que no faltó el preguntón: "¿Y eso para qué nos sirve en la vida real?"...  Tarea de investigación.

Investigando la historia de la trigonometría averiguamos que los hindúes fueron los primeros que hicieron un equivalente a la función seno (¿qué será eso?). También supimos de su utilización por parte de los egipcios en la construcción de las pirámides, en los trabajos astronómicos de Aristarco, Menelao y Ptolomeo, quienes hicieron la división del ángulo en 360º. Y como trabajo fundamental esta el hecho por Viete, que estableció el uso de la trigonometría en el análisis matemático y en la matemática aplicada.

Funciones Trigonometricas en el Triángulo Rectángulo

Ahora, estimados amigos definiremos las funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Más adelante, nos señaló el profe, las utilizaremos, a través de diversos teoremas y relaciones, en todo tipo de triángulos.

Consideremos el triángulo ABC, rectángulo en C, de la figura y trabajemos con los ángulos a y b de él.

Antes de seguir adelante con el trabajo trigonométrico, el profe nos hizo recordar y ejercitar el Teorema de Pitágoras, para luego definirnos lo siguiente:

seno de a = 

coseno de a =

tangente de a =

cotangente de a =

secante de a =

cosecante de a =

Del mismo modo, para el ángulo b se obtiene las razones trigonométricas siguientes:

seno de b =

coseno de b =

tangente de b =

cotangente de b =

secante de b =

cosecante de b =

Funciónes Trigonométricas de un Angulo Agudo

Una vez dadas las definiciones, el profe nos pidió que las observáramos muy bien y sacaramos alguna conclusión. Nonos costó mucho darnos cuenta que:

sen a = cos b

cos a = sen b

tg a = cot b

cot a = tg b

sec a = cosec b

cosec a = sec b

y como a + b = 90º (triángulo ABC), entonces b = 90 - a que la reeemplazarlo en las igualdades anteriores se obtiene:

sen a = cos (90 - a)

cos a = sen (90 - a)

tg a = cot (90 - a)

cot a = tg (90 - a)

sec a = cosec (90 - a)

cosec a = sec (90 - a)

En palabras: "La función trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la cofunción de su complemento".

Frente a nuestras caras de S.O.S. que se nos empezaba a formar, el profe decidió mostrarnos ejemplos del uso de estas funciones y comenzamos con el siguiente triángulo rectángulo en C.

de él debíamos determinar todas las funciones trigonométricas del ángulo a.

Lo primero fue determinar el valor del cateto BC que, a través del teorema de Pitágoras, resulta de 4 cm. (No te hacemos el procedimiento ya que si no sabes este teorema, te sugerimos cambiarte de electivo)(Ya nos hemos convertido el los chacalitos).

Ahora que ya sabemos la medida de cada lado del triángulo, resolvamos.

sen a = = 0,8

cos a = = 0,6

tg a = = 1,33...

cot a = = 0,75

sec a = = 1,66...

cosec a = 1,25

Te preguntarás (así lo hicimos nosotros) qué significado y utilidad tiene la expresión sen a = = 0,8. ¡Fácil respuesta! (ahora). En una calculadora científica desarrolla lo siguiente:anota el número 0,8 y presiona la tecla INV o SHIFT, luego la tecla sen-1, donde obtendrás como resultado (he aquí lo maravilloso) que el ángulo a mide 53,13º.

Si quieres (sería conveniente), efectúa identica operación con las otras funciones trigonométricas para verificar dicho ángulo.

Ahora te damos un segundo ejercicio para que te entretengas calculando las funciones trigonométricas de b (ángulo ACB) en el rectángulo ABCD de la figura.

Relaciones Trigonométricas Fundamentales

Sigue el avance trigonométrico y hasta ahora nos hemos defendido bastante bien. Claro que hemos ido estudiando meticulosamente la materia ya que el profe Danny nos advirtió que si no captábamos el principio de la trigonometria, después daríamos la hora en las clases y, por supuesto, en las pruebas (¿cierto Cynthia?).

Hoy aprenderemos que existen relaciones trigonométricas que serán fundamentales en el desarrollo de las diversas unidades de nuestro curso. Para eso vamos a trabajar con la figura siguiente, para que basados en ella demostremos las relaciones que más abajo se indican.

1. 2. 3. 4.

5. sen2a + cos2a = 1 6. sen2a  = 1 - cos2a 7. cos2a = 1 - sen2a 8.

9. 10. sec2 a = 1 + tg2a  11. cosec2 a = 1 + cotg2a 

¡Apréndelas!, las tendrás que utilizar siempre, especialmente en las identidades y ecuaciones trigonométricas que estudiaremos más adelante.

Y ahora a demostrar cada una de ellas, basándote en el triángulo anteriormente dado. ¡A trabajar!

(Aquí te damos algunas demostraciones como pauta para que tú hagas todas las demás)

1. Por demostrar

queda entonces demostrado.

2. Por demostrar

3. Ahora te mostraremos el desarrollo que nos llevo más tiempo y sólo por no estar atentos a los "pequeños" detalles.

Por demostrar sen2a + cos2a = 1

sen2a + cos2a = 1

...