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PRODUCTOS NOTABLES

Se llama productos notables a ciertas multiplicaciones que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser deducido por simple inspección. Entre otros, tenemos los siguientes:

Cuadrado de la suma de dos binomios

(a + b)(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Se traduce como sigue: el cuadrado de la suma de dos binomios es igual al cuadrado del primer término, más el duplo del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Ejemplos:

(3x+2y)^2= (3x)^2+ 2(3x)(2y)+ (2y)^2 = 〖9x〗^2+ 12xy+ 〖4y〗^2

(5x+y)^2= (5x)^2+ 2(5x)(y)+ (y)^2 = 〖25x〗^2+ 10xy+ y^2

(4x+3y)^2= (4x)^2+ 2(4x)(3y)+ (3y)^2 = 〖16x〗^2+ 24xy+ 〖9y〗^2

Cuadrado de la diferencia de dos binomios

(a - b)(a - b) = (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Se lee: el cuadrado de la diferencia de dos binomios es igual al cuadrado del primer término, menos el duplo del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Ejemplos:

(3x- 2y)^2= (3x)^2+ 2(3x)(-2y)+ (-2y)^2 = 〖9x〗^2- 12xy+ 〖4y〗^2

(5x-y)^2= (5x)^2+ 2(5x)(-y)+ (-y)^2 = 〖25x〗^2- 10xy+ y^2

(4x-3y)^2= (4x)^2+ 2(4x)(-3y)+ (-3y)^2 = 〖16x〗^2- 24xy+ 〖9y〗^2

Producto de la suma por la diferencia de dos binomios

(a + b)(a – b) = a2 – b2

El producto de binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

Ejemplos:

(3x+2y)(3x-2y)= (3x)^2- (2y)^2= 〖9x〗^2- 〖4y〗^2

(5x+y)(5x-y)= (5x)^2- (y)^2= 〖25x〗^2- y^2

(4x+3y)(4x-3y)= (4x)^2- (3y)^2= 〖16x〗^2- 〖9y〗^2

Cubo de un binomio

(a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término, más el cubo del segundo término. Así también,

(a - b)(a - b)(a - b) = (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Ejemplos:

(3x+2y)^3= (3x)^3+ 3(3x)^2 (2y)+ 3(3x) (2y)^2 〖+ (2y)〗^3

= 〖27x〗^3+ 3(9x^2 )(2y)+ 3(3x)(〖4y〗^2 )+ 8y^3

= 〖27x〗^3+ 54x^2 y+36xy^2+ 〖8y〗^3

(3x- 2y)^3= (3x)^3- 3(3x)^2 (2y)+ 3(3x) (2y)^2 〖- (2y)〗^3

= 〖27x〗^3- 3(9x^2 )(2y)+ 3(3x)(〖4y〗^2 )- 8y^3

= 〖27x〗^3- 54x^2 y+36xy^2- 〖8y〗^3

e) Producto de dos binomios con un término común

(a + b)(a + c) = a2 + (b + c)a + bc

El resultado es igual al cuadrado del término común, más la suma algebraica de los términos no comunes por el común, más el producto de los términos no comunes.

Ejemplos:

(3x+2y)(3x+5y)= (3x)^2+ (2y+5y)(3x)+ (2y)(5y)

= 〖9x〗^2+ 21xy+10y^2

(3x+2y)(3x- 5y)= (3x)^2+ (2y- 5y)(3x)+ (2y)(-5y)

= 〖9x〗^2- 9xy- 10y^2

Binomio a la potencia n

Sea el binomio a + b. La multiplicación da que

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4ª3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

En estos desarrollos se cumplen las siguientes leyes:

1) Cada desarrollo tiene un término más que el exponente del binomio.

2) El exponente de a en el primer término del desarrollo es igual al exponente del binomio, y en cada término posterior al primero, disminuye 1.

3) El exponente de b en el segundo término del desarrollo es 1, y en cada término posterior a éste, aumenta 1.

4) El coeficiente del primer término del desarrollo es 1 y el coeficiente del segundo término es igual al exponente de a en el primer término del desarrollo.

5) El coeficiente de cualquier término se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de a en dicho término anterior y dividiendo este producto por el exponente de b en ese mismo término aumentado en 1.

6) El último término del desarrollo es b elevada al exponente del binomio.

Los resultados anteriores constituyen la Ley del Binomio, debida a Newton, que se cumple para cualquier exponente entero y positivo. Esta ley se representa de la siguiente forma:

(a + b)n = an + nan-1b + n(n – 1) an-2b2 + n(n – 1)(n – 2) an-3b3 +

(1)(2) (1)(2)(3)

+ n(n – 1)(n – 2)(n – 3) + an-4b4 +….. + bn

(1)(2)(3)(4)

También puede ser de utilidad el manejo del Triángulo de Pascal para determinar los coeficientes de los términos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio:

Ejemplos:

(3x+2y)^4= 〖1(3x)〗^4 (2y)^0+ 4(3x)^3 (2y)^1 +6(3x)^2 (2y)^2 〖+ 4(3x)^1 (2y)〗^3+ 〖1(3x)^0 (2y)〗^4

= 〖 1( 81x〗^4)(1) + 4(27x^3 )(2y)+6(9x^2 )(4y^2 ) + 4(3x)(8y^3 )+ 1(1)(16y^4)

= 〖81x〗^4+ 216x^3 y+216x^2 y^2+ 96xy^3+ 16y^4

(3x-2y)^5 = 〖1(3x)〗^5 (-2y)^0+ 5(3x)^4 (-2y)^1 +10(3x)^3 (-2y)^2 〖+ 10(3x)^2 (-2y)〗^3+ 5(3x)^1 (-2y)^4+ 〖1(3x)^0 (-2y)〗^5

= 〖 1(243x〗^5)(1) + 5(81x^4 )(-2y)+10(27x^3 )(4y^2 ) + 10(9x^2 )(-8y^3 )+5(3x)(16y^2 ) + 1(1)(-32y^5)

= 〖243x〗^5- 810x^4 y+1080x^3 y^2- 720〖x^2 y〗^3+ 240xy^4 - 32y^5

Ejercicios

Determine cada uno de los productos siguientes.

1) (x + 3) (x - 8)

2) (y 3) (y 9)

3) (4r 1) (7r + 2)

4) (5m – 6) (3m + 4)

5) 4x2(3x 3 + 2x 2 - 5x + 1)

6) 2b 3(b 2 4b + 3)

7) (2m + 3) (2m 3)

8) (8s 3t) (8s + 3t)

9) (4m + 2n) 2

10) (a – 6b)2

11) (5r + 3t 2)2

12) (2z 4 3y)2

13 (3x + 2)3

14) (a – 6b)3

15) (5r + 3t 2)3

16) (2z 4 3y)3

17) (2x + 5y)(2x + 8y)

18) (5x + 3y)5

19) (2a – 3b)6

20) (2x + 5y)4

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