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Funciones

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

Relaciones y funciones

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

1 --------> 1

2 --------> 4

3 --------> 9

4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

1 --------> 1

2 --------> 4

3 --------> 9

4 --------> 16

x --------> x2.

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

x --------> x2 o f(x) = x2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.

Ejemplo

Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Conjunto X Conjunto Y

Ángela 55

Pedro 88

Manuel 62

Adrián 88

Roberto 90

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente.

Ejemplo

Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".

x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

Conjunto X Conjunto Y Desarrollo

− 2 − 1 f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1

− 1 1 f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1

0 3 f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3

1 5 f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5

2 7 f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7

3 9 f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9

4 11 f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11

Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).

Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.

Usualmente X e Y son conjuntos de números.

Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota

f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x

f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la pre imagen de f(x).

Evaluación de una función

Evaluar

Significa pedirle a la función que transforme un numero. El valor que le damos, lo

Sustituimos en la función y hacemos los cálculos que quedan indicados.

Por ejemplo, vamos a evaluar la función y = x

2 + 2x 4 en x = 3.

y = (3)2+ 2 (3)4

= 9 + 64

= 11

Al simplificar, encontramos el valor que nos devuelve la función. Hacemos los cálculos que quedaron indicados Sustituimos el valor de x donde encontremos x en la función.

Función lineal. La función que a cada x€R le hace corresponder un número real f(x) = mx + n. Donde m y n son números reales dados, se denomina función lineal.

Características generales

aplicación lineal si y sólo si n = 0. Así, algunos autores llaman función lineal a aquella de la forma mientras que llaman función afín a la que tiene la forma , cuando n es distinto de cero. La grafica de la función lineal es una recta.

Los valores de m y n son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y n es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos la inclinación de la recta y cuando cambiamos n desplazamos la línea arriba o abajo.

Pendiente

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Si m < 0, la recta se inclina hacia arriba, la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m > 0, la recta se inclina hacia abajo, la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

Si m = 0, la recta es paralela al eje x.

Calculo de la pendiente de la recta

La pendiente m de la recta que pasa por los punto P1(x1; y1) y P2(x2; y2) se calcula por la fórmula

Cero de la función

El dominio de la función lineal es el conjunto de los números reales.

El elemento del dominio de la función lineal f(x) = mx + n (m ≠0) cuya imagen es cero, se denomina cero de esta función.

Función Cuadrática

Una función de la forma:

f (x) = a x ² + b x + c

Con a, b y c pertenecientes a los reales y a0, es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola.

En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:

si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Raíces

Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x. Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en:

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