CALCULO INTEGRAL

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Introducción ..................................................................................3

Área de una región entre dos curvas .............................................4-6

Volumen: Método de discos ..........................................................7-9

Volumen: Método de capas ........................................................10-11

Trabajo, fuerza constante y fuerza variable ..............................12-14

Presión de un fluido y fuerza de un fluido ...............................15-16

Momentos , centroides y centro de masa .................................17-23

Longitud de arco y superficies de revolución .........................24-28

Conclusión ..............................................................................29

Bibliografía ............................................................................30

Introducción

Las derivadas y las integrales tienen diferentes campos de aplicación, pero en este caso en particular, nos referiremos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de las integrales, lo cual fue tema de la clase de Cálculo II.

Para llevar a cabo estas aplicaciones, nos valimos del uso de dos herramientas elementales:

• Las integrales definidas y

• El Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Al tener el conocimiento necesario sobre estos dos puntos se podrá llevar a cabo cualquiera de las aplicaciones aquí mencionadas, sumado claro, con las reglas individuales de cada caso en mención.

APLICACIONES DE

LA INTEGRAL

I Parte Área de una región entre dos curvas

Con pocas modificaciones podemos extender la aplicación de las integrales definidas para el cálculo de una región situada por debajo de una curva, al área comprendida de un región entre dos curvas. Si, como en la figura 1.1, las gráficas de ambas, f y g, se localizan por encima del eje x, podemos interpretar geométricamente el área de la región entre las gráficas como el área de la región situada debajo de la gráfica f menos el área de la región situada debajo de la gráfica de g, como muestra la figura 7.1.

Si bien en la figura 7.1 muestra las gráficas de f y g sobre el eje x, esto no es necesario y se puede usar el mismo integrando [f(x) - g(x)] siempre y cuando f y g sean continuas y g(x) " f(x) en el intervalo [a, b]. Se resume el resultado en el teorema siguiente.

Demostración: Partimos en el intervalo [a, b] en subintervalos, cada uno de

anchura x y dibujamos un rectángulo representativo de anchura x y altura f(xi) - g(xi), de donde x está en el i-ésimo intervalo, tal como lo muestra la figura 1.3. El área de este rectángulo representativo es

Ai = (altura)(anchura) = [f(xi) - g(xi)] x

Sumando las áreas de los n rectángulo s y tomando el límite cuando

|||| ! 0 (n ! "), tenemos

n

lim " [f(xi) - g(xi)] x

n ! " i=1

Por ser f y g continuas en el intervalo [a, b], f-g también es continua en dicho intervalo y el límite existe. Por tanto, el área A de la región dada es

n

A = lim " [f(xi) - g(xi)] x =

[f(x) - g(x)] dx

n ! " i=1

Se usan los rectángulos representativos en diferentes aplicaciones de la integral. Un rectángulo vertical (de anchura x) implica integración respecto a x, mientras un rectángulo horizontal (de anchura y) implica integración con respecto a y.

Ejemplo 1.1

Hallar e área de la región limitada por las gráficas de y =x2 +2, y = -x, x =0 y x = 1.

Solución: Hacemos g(x) =-x y f(x) =x2+2, entonces g(x) " f(x) para todo x en [0, 1], como muestra la figura. Por tanto, el área del rectángulo representativo es

A = [f(x) - g(x)] x

= [(x2+ 2) - (-x)] x

A =

[f(x) - g(x)] dx

= [(x2 + 2) - (-x)]dx

= [x3/3 + x2/2 + 2x]10

= 1/3 + ½ + 2 =

Las gráficas de f(x) =x2+2 y g(x) = -x no se cortan, y los valores de a y b están dados explícitamente. Un tipo de problema más común involucra el área de una región limitada por dos gráficas que se interceptan, debiendo por tanto calcularse los valores de a y b.

Aplicación

El consumo total de gasolina para el transporte en los Estados Unidos desde 1960 hasta 1979 sigue un modelo de crecimiento descrito por la ecuación:

f(t) =0,000433t2 + 0,0962t + 2,76; -10 " t " 9

Donde se mide f(t) en miles de millones de barriles y en t en años, correspondiendo t = 0 al primero de enero de 1970. Debido al aumento drástico de los precios del crudo a finales de los años setenta, el modelo de crecimiento del consumo cambió y comenzó a seguir esta otra forma:

g(t) = -0,00831t2 + 0,152t + 2,81; 9 " t " 16

Como muestra la siguiente figura. Calcular la cantidad total de gasolina ahorrada desde 1979 hasta 1985 como resultado de este cambio en los modelos que expresan estos ritmos de consumo.

Solución: Al estar situada la gráfica del modelo que regía hasta 1979 por encima de la del modelo posterior en el intervalo [9, 16] la cantidad de gasolina ahorrada viene dada por la integral siguiente:

f(t) g(t)

[(0,000433t2 + 0,0962t + 2,76) - ( -0,00831t2 + 0,152t + 2,81)] dt

=

(0,008743t2 - 0,0558t - 0,05) dt

=[(0,008743t3/3 )-(0,0558t2/2)-0,05t

" 4,58 miles de millones de barriles

Por tanto, se ahorraron 4,58 miles de millones de barriles de gasolina, que a razón de 42 galones por barril supuso un ahorro de 0,2 billones de galones.

II Parte Volumen método de discos

Otra aplicación importante de la integral, la tenemos en el uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Ahora veremos los sólidos de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.

Si giramos una región del plano alrededor de una línea, el sólido resultante es conocido como sólido de revolución y la línea como eje de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo como se muestra en la figura. El volumen de este disco es

Volumen del disco = R2w

Donde R es el radio del disco y w es la anchura.

Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, considérese el sólido de revolución obtenido al girar la región plana de la figura alrededor del eje indicado. Para calcular el volumen de este

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