Calculo Integral

iNtroducción

La idea de la integral indefinida supuso un paso más en el camino de la abstracción emprendido por las matemáticas modernas. Con ella, la integral dejó de referirse únicamente a un modo de determinar las áreas que forman curvas y rectas para asumir la condición de función en sí, susceptible de formar parte de ecuaciones y descripciones de modelos en el gran marco de las teorías del análisis matemático.

Las derivadas y las integrales tienen diferentes campos de aplicación, pero en este caso en particular, nos referiremos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de las integrales, lo cual fue tema de la clase de Cálculo II.

Para llevar a cabo estas aplicaciones, nos valimos del uso de dos herramientas elementales:

• Las integrales definidas y

• El Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Al tener el conocimiento necesario sobre estos dos puntos se podrá llevar a cabo cualquiera de las aplicaciones aquí mencionadas, sumado claro, con las reglas individuales de cada caso en mención.

Cálculo, rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua.

. Cálculo integral

El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración. Dada una función f, se busca otra función F tal que su derivada es F' = f; F es la integral, primitiva o antiderivada de f, lo que se escribe F(x) = f(x)dx o simplemente F = f dx (esta notación se explica más adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar para la integración: como la derivada de x2 es 2x, la integral de 2x es x2. Si F es la integral de f, la forma más general de la integral de f es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamada constante de integración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F + c)' = F' + c' = f + 0 = f. Por ejemplo, 2xdx = x2 + c.

Las reglas básicas de integración de funciones compuestas son similares a las de la diferenciación. La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicación por una constante. Así, la integral de x = ½•2x es ½x2, y de forma similar xm dx = xm+1/(m + 1) para cualquier m -1 (no se incluye el caso de m = -1 para evitar la división por 0; el logaritmo neperiano ln|x| es la integral de x-1 = 1/x para cualquier x 0). La integración suele ser más difícil que la diferenciación, pero muchas de las funciones más corrientes se pueden integrar utilizando éstas y otras reglas (ver la tabla).

Una aplicación bien conocida de la integración es el cálculo de áreas. Sea A el área de la región delimitada por la curva de una función y = f(x) y por el eje x, para a x b. Para simplificar, se asume que f(x) 0 entre a y b. Para cada x a, sea

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