Calculo Integral Act 4

Act 4: Lección Evaluativa No. 1

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La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo de la recta real, la integral

es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde se restan las áreas por debajo del eje x.

La palabra "integral" también se puede referir a la noción de primitiva; una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre primitivas e integrales indefinidas.

Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.

SUMAS DE RIEMMAN :

Comencemos por definir una función f(x) en el intervalo cerrado , en dicho intervalo puede haber valores positivos y negativos; incluso, podría ser no continua. Hacemos una partición P del intervalo I en n subintervalos, para facilidad se hace una partición regular, pero no necesariamente debe ser regular, dicha partición debe tener la condición que: donde y

Ahora sea el tamaño del sub intervalo. En cada subintervalo se escoge un “punto muestra”, puede ser un punto frontera.

Así para los demás intervalos.

Como la partición se hizo sobre la función f(x), entonces:

SUMA DE RIEMMAN

Aqui es la suma de RIEMMAN para f(x) en la partición P.

Poligonos circunscritos.

Ejemplo: Evaluar la suma de Riemman para la función en el intervalo , la partición es regular, tomando P=8

Solución: Tomemos y . Se toma como el punto medio del i-ésimo intervalo.

También ; con esto se obtienen 8 subintervalos, cuyos puntos medios son:

-1.75, -1.25, -0.75, -0.25, 0.25, 0.75, 1.25, 1.75

Apliquemos la formula de sumas de Riemman , entonces:

En la función se reemplaza: y asi para los demás.

La partición - en las sumas de Riemann - puede ser regular o no regular; en la partición se

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