CONDICIONES DE KUHN TUCKER

CONDICIONES DE KUHN TUCKER

Las condiciones de Kuhn Tucker son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación matemática sea óptima. Es una generalización del método de los Multiplicadores de Lagrange.

Para el problema básico:

[pic 1]

Con [pic 2]se forma el Lagrangiano:

[pic 3]

Para obtener las:

Condiciones:

[pic 4]

Para que son útiles las condiciones de Kuhn Tucker

Teorema 1 (Necesidad) Son x* solución del problema (1). Si x* cumple la cualificación de las restricciones entonces existe [pic 5]tal que (x*, ⋋*) cumplen las condiciones de Kuhn Tucker.

Teorema 2 (Suficiencia 1) Si en el problema (1), la función objetivo f es cóncava y todas las restricciones  son convexas se cumple que: [pic 6]

        Si (x*, ⋋*) cumple las condiciones de Kuhn Tucker entonces x* es solución de (1).

Teorema 3 (Suficiencia 2) Si en el problema (1), (x*, ⋋*) cumple las condiciones de Kuhn Tucker y L(x, ⋋*), como función de x, es cóncava, entonces x* es solución de (1)

Demostración

Al ser L(x, ⋋*) cóncava, las condiciones [pic 7] para cada i= 1,…, n nos aseguran que x*  es un máximo de L(x, ⋋*), por lo que para todo x:

[pic 8]

Para las CKT sabemos que  ((x*) - )=0 para toda j[pic 9][pic 10][pic 11]

[pic 12]

Como x debe cumplir las restricciones tenemos que  y además los multiplicadores deben ser no negativos ⋋*≥0 luego para cada sumando  ((x*)) ≥ 0 con lo que llegamos a: [pic 13][pic 14][pic 15]

[pic 16]

Es decir:

[pic 17]

...