Circuitos Electricos Con Matricez

2.4.- CIRCUITOS ELÉCTRICOS.

Objetivo de sección: Presentar las leyes básicas del análisis de los circuitos eléctricos. Emplear para analizar circuitos eléctricos formados por baterías, resistores (resistencias) y cables.

Resistencia es un dispositivo, como un foco, que reduce la corriente en un circuito y convierte la energía eléctrica en energía térmica, y un cable es un conductor que permite el libre flujo de corriente eléctrica. Un circuito eléctrico sencillo es una conexión cerrada de resistencias, baterías y cables. Cuando los circuitos se representan por medio de diagramas, las baterías, resistencias y cables se denotan como sigue:

Batería Resistencia Cable

La Figura 1 muestra un circuito eléctrico sencillo, formado por tres baterías y cuatro resistencias, unidas mediante cables.

Las cantidades físicas que se utilizan al analizar los circuitos eléctricos son la corriente, la resistencia y la diferencia de potencial eléctrico en una batería. La diferencia de potencial eléctrico se mide en voltios (V) y se denota mediante E. La corriente se denota con I y se mide en amperios (A). La resistencia se denota con R y se mide en ohms (Ω). Estas unidades se relacionan mediante la ecuación

Un voltio = (un amperio) × (un ohm).

La diferencia de potencial eléctrico de una batería se considera positiva si se mide de la terminal negativa (−) a la positiva (+), y negativa cuando se mide de la terminal positiva (+) a la negativa (−). La diferencia de potencial eléctrico en una resistencia (denotada mediante V), depende de la corriente que fluye por ella y de la resistencia que ofrece y está dada por la ley de Ohm:

V = I R.

El signo negativo (−) se usa cuando la diferencia en la resistencia se mide en dirección del flujo de corriente, y se utiliza el signo positivo (+) cuando la diferencia en la resistencia se mide en dirección opuesta al flujo de corriente. Todos los circuitos eléctricos constan de ciclos e voltaje y nodos de corriente. Un ciclo de voltaje es una conexión cerrada dentro el circuito. Por ejemplo, la figura 1 contiene los tres ciclos de voltaje

a → b → c → f → a,

c → d → e → f → c

y

a → b → c → d → e → f → a.

Un nodo de corriente es un punto donde se encuentran tres o más segmentos de cable. Por ejemplo, la figura 2.20 contiene dos nodos de corriente en los puntos

c y f.

Las leyes físicas que gobiernan el flujo de corriente en un circuito eléctrico son la conservación de la energía y la conservación de la carga.

• La conservación de la energía se establece en un resultado conocido como ley de voltaje de Kirchhoff: en torno de cualquier ciclo de voltaje, la diferencia total de potencial eléctrico es igual a cero.

• La conservación de la carga se establece en un resultado que se conoce como ley de corriente de Kirchhoff: en cualquier nodo de corriente, el flujo de todas las corrientes que llegan al nodo es igual al flujo de todas las corrientes que salen del nodo.

Esto garantiza que la carga en un nodo no aumenta ni disminuye, de modo que el flujo de corriente es estacionario a lo largo del nodo.

Ahora podemos aplicar estas ideas, y los métodos para resolver sistemas lineales, a la resolución de problemas relacionados con los circuitos eléctricos. Estos problemas tienen el siguiente formato general: en un circuito con baterías, resistencias y cables, determinar todos los valores desconocidos de la diferencia de potencial eléctrico en las baterías, de las resistencias y de las corrientes, dados algunos valores, suficientes para calcular los valores desconocidos. El siguiente ejemplo ilustra lo dicho en el párrafo anterior, para un caso en el cual las incógnitas son las corrientes.

EJEMPLO 1:

La figura 2 muestra el circuito en el que las baterías tienen los potenciales eléctricos indicados, medidos de la terminal negativa a la positiva, y las resistencias tienen los valores señalados. El problema consiste en determinar las corrientes que fluyen por cada segmento del circuito.

Primero asignamos incógnitas para las corrientes en cada segmento del circuito que comienza en cierto nodo y termina en algún otro (sin nodos intermedios). Por ejemplo, en la figura 2.21, asignamos I1 al segmento f →a →b →c, I2 al segmento f →c, e I3 al segmento c → d → e → f. Además, asignamos direcciones arbitrarias a estas corrientes, como indican las flechas de la figura 2.21. Si la dirección asignada es correcta, el valor de corriente que se obtenga será positivo; si es incorrecta, el valor de corriente será negativo. Este último caso indica, por lo tanto, que la dirección real del flujo de corriente es justamente la opuesta a la asignada originalmente. Utilizando la ley de la corriente de Kirchhoff (la suma de las corrientes de entrada es igual a la suma de las corrientes de salida) en los puntos c y f, tenemos respectivamente

I1 + I2 = I3 e I3 = I1 + I2, (1)

Como estas dos ecuaciones contienen la misma información, sólo necesitamos una de ellas. En general, si un circuito tiene n nodos, la ley de la corriente de Kirchhoff proporcionará n − 1 ecuaciones útiles y una ecuación que es una combinación lineal de las otras n − 1.

A continuación nos valemos de la ley de voltaje de Kirchhoff. Partimos del punto a y nos movemos por la batería de (−) a (+) hasta el punto b, de modo que la diferencia de potencial es +40 V. Al ir del punto b al punto c por la resistencia de 5 Ω, se tiene una diferencia de potencial de −5I1. Al ir del punto c al punto f por la batería de 120 V y una resistencia de 10 Ω se tiene una diferencia de potencial de −120 V (a lo largo de la batería) y una diferencia de potencial de +10I2 (a través de la resistencia). Por último al ir del punto f al punto a no hay diferencia de potencial. En resumen, al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff en el ciclo a → b → c → f → a, obtenemos

(+E1) + (−R1I1) + (−E2) + (+R2I2) = 0 ó

(+40) + (−5I1) + (−120) + (10I2) = 0, es decir,

I1 − 2I2 = −16.

De manera análoga, al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff en el ciclo c →d →e → f → c, obtenemos:

(−R3I3) + (+E3) + (−R4I3) + (−R2I2) + (+E2) = 0 ó

(−20I3) + (+80) + (−30I3) + (−10I2) + (+120) = 0.

Esto se simplifica a: 10I2 + 50I3 = 200, o

I2 + 5I3 = 20. (3)]

Observe que la ecuación resultante del ciclo de voltaje a → b → c → d → e → f → a se convierte en:

(+E1) + (−R1I1) + (−R3I3)

...