GEOGRAFIA

Introducción

En el tema anterior revisamos algunos fenómenos para determinar si los modelos eran lineales o no, esto es,

si existe una relación directamente proporcional entre las variables involucradas. A partir de los datos,

tabulamos la información y la vaciamos en una gráfica, construimos la ecuación para cada caso, e

identificamos la razón de cambio o pendiente, así como la ordenada al origen.

En este tema vamos a aprovechar que ya has estudiado el movimiento rectilíneo uniforme para profundizar en

la representación gráfica y analítica de un cuerpo en movimiento y su relación con la velocidad. Partiremos de

la información proporcionada para construir la gráfica, generar su ecuación e interpretarla. Aprenderemos a

leer en una gráfica el movimiento de un cuerpo, cuándo se encuentra detenido y cuándo regresa una

distancia que recorrió previamente.

También retomaremos el concepto de velocidad como pendiente del modelo lineal distancia - tiempo en el

movimiento rectilíneo uniforme y representaremos el caso en que un objeto se mueve con mayor o menor

velocidad que otro.

Fábula de la liebre y la tortuga.

¿Recuerdas la fábula de la liebre y la tortuga? Vamos a recordarla brevemente:

Fábula

Breve relato ficticio, en prosa o verso, con intención didáctica frecuentemente manifestada en una moraleja

final, y en el que pueden intervenir personas, animales y otros seres animados o inanimados.

Había una vez una liebre presumida que hacía gala todo el tiempo de su velocidad y se burlaba de los demás

animales, en especial de la pequeña y lenta tortuga. Hasta que un día la tortuga se cansó y la retó a competir

en una carrera. La liebre no tuvo inconveniente en aceptar, segura de su triunfo y ansiosa de tener algo nuevo

que contar. Así que fijaron la fecha y acordaron el recorrido que harían, ante la expectación y entusiasmo de

los demás animales.

Y así llegó el día de la carrera. Al escuchar la señal de salida, tortuga y liebre partieron tan rápidamente como

les permitían sus patitas. La liebre avanzó un gran tramo; sintiéndose desde luego ganadora, y decidió darse

un descanso en cuanto consideró que le llevaba suficiente ventaja a la tortuga, así que se acomodó a la

sombra de un árbol y antes de darse cuenta, se quedó profundamente dormida. Mientras tanto, la tortuga

avanzaba caminado a su paso, sin detenerse para nada.

Así transcurrieron las horas: la liebre perdida en un profundo sueño, y la tortuga camina y camina. Cuando

estaba por oscurecer, un gran alboroto despertó a la liebre. Al voltear hacia la meta, el estómago se le hizo

nudo… ¡la tortuga estaba a punto de cruzarla! Corrió todo lo que pudo, pero fue inútil: por increíble que

pareciera, la tortuga había ganado.

Toda fábula nos deja una moraleja o enseñanza. Escribe la que te deja a ti.

Velocidad

Gráfica distancia contra tiempo

Dijimos que en el movimiento rectilíneo uniforme un objeto recorre distancias iguales en tiempos iguales, y

además, se mueve en una trayectoria recta. Gráficamente podemos ilustrarlo así:

Puedes ver entonces que hay una variación constante en la posición del objeto, lo que nos lleva a un modelo

lineal. En este modelo, la ordenada al origen representa la distancia que separa al objeto del punto que

estemos utilizando como referencia.

¿Cómo plantearías la ecuación que modele la distancia recorrida que vemos en la gráfica anterior? Recuerda

que el tiempo t es la variable independiente y la distancia d es la variable dependiente (recuerda también el

ejemplo de las tarifas del taxi).

Si la comparas con la forma pendiente – ordenada al origen (y=mx+b) verás que lo único que cambia es el

nombre de las variables, la forma es la misma.

Gráfica distancia contra tiempo

En nuestra fábula ambos protagonistas salen del mismo punto en el mismo momento. Antes de que la liebre

se detenga ha transcurrido un tiempo t1 en el cual la tortuga ha recorrido una distancia dt1 menor que la liebre,

que ha avanzado una distancia dL1 ¿estás de acuerdo?

Si la liebre no se hubiera quedado dormida, seguro habría ganado. ¿Cómo sería la gráfica que representara

la carrera? Trata de dibujarla; no olvides que las variables son el tiempo y la distancia, y que en el caso de la

carrera, una tenía un valor constante y la otra variaba, ¿cuál? ¿Qué recta tiene una pendiente mayor, la que

representa la carrera de la liebre o la de la tortuga? Trázala y después compara.

De ecuaciones y de intervalos

La ecuación de la tortuga se puede obtener por sustitución directa de los datos en la forma punto - pendiente

o en la forma pendiente- ordenada al origen.

Ecuación de la recta con ordenada al origen

¿Y qué hubiera pasado si la liebre le hubiera dado una ventaja a la tortuga? Imagina que la liebre hubiera

dejado que la tortuga saliera 6 metros adelante y que no se hubiera detenido a descansar.

Una forma de ayudarnos a responder estas preguntas es dibujando la gráfica y leyendo directamente sobre

ella. Otra es obtener la información a través de las ecuaciones de las rectas para así obtener

Alcances entre cuerpos en movimiento

Tal vez pienses que resulta más fácil obtener resultados de una gráfica que hacer cálculos. En ocasiones así

es, pero la ventaja de trabajar con ecuaciones es que no dependemos de nuestra capacidad visual y llegamos

a un resultado más preciso.

Determinemos analíticamente en qué momento y a qué distancia la liebre alcanzó a la tortuga, a quien le

había dado 6 m de ventaja. Para ello usaremos las ecuaciones simultáneas, que nos permiten modelar un

alcance y determinar el punto de encuentro. Necesitaremos la ecuación de las rectas que representan la

carrera de cada protagonista; aquí está la de la tortuga:

Dijimos que la rapidez o pendiente de la recta que representa la carrera de la tortuga era de 1 m/h y como

empezó 6 metros adelante, la ordenada al origen vale 6. Aquí tienes ahora la ecuación para la carrera de la

liebre, , donde podemos ver que la rapidez de la liebre es 3 m/h y que arrancó de la salida,

por lo que la ordenada al origen de la ecuación vale cero. Para determinar el punto en el que se cruzan

ambas rectas podemos aplicar cualquiera de los métodos de solución de ecuaciones simultáneas:

¡Completa!

¿Verdad que resulta

...