La determinación de las raíces de una ecuación

La determinación de las raíces de una ecuación.  Su importancia radica en que si podemos determinar las raíces de una ecuación también podemos determinar máximos y mínimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc...

Existen una serie de reglas que pueden ayudar a determinar las raíces de una ecuación:

• El teorema de Bolzano, que establece que si una función continua, f(x), toma en los extremos del intervalo [a,b] valores de signo opuesto, entonces la función admite, al menos, una raíz en dicho intervalo.
• En el caso en que f(x) sea una función algebraica (polinómica) de grado n y coeficientes reales, podemos afirmar que tendrá n raíces reales o complejas.
• La propiedad más importante que verifican las raíces racionales de una ecuación algebraica establece que si p/q es una raíz racional de la ecuación de coeficientes enteros: 

[pic 1]

Entonces el denominador q divide al coeficientes an y el numerador p divide al término independiente a0.

Pasos para resolverlo:

Ecuación que se planea obtener las raíces         →        3x3 + 3x2 - x - 1 = 0

• Primero es necesario efectuar un cambio de variable x = y/3:

[pic 2]

• Después multiplicamos por 32:

y3 + 3y2 -3y -9 = 0

• Así que los candidatos a raíz del polinomio son:  

[pic 3]

Sustituyendo en la ecuación, obtenemos que la única raíz real es: y = -3, es decir, [pic 4] (que es además la única raíz racional de la ecuación).

Referencias bibliográficas:

https://www.uv.es/~diaz/mn/node17.html 

https://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070924085901AAuExki 

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