B´usqueda de ra´ıces e Interpolaci´on

F´ısica Computacional II - 510240

Departamento de F´ısica

Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas

Listado 3: B´usqueda de ra´ıces e Interpolaci´on

1. Implemente en Fortran los algoritmos para b´usqueda de ra´ıces mencionados en clases (Bisecci´on,

Newton-Raphson y Secante). Pruebe su validez determinando las ra´ıces de los primeros polinomios

de Legendre. Un buen valor inicial para la i-´esima ra´ız del polinomio de orden n es:

x0 = cos (i − 1/4)

n + 1/2 , con i = 1, · · · n

Bonus: Si tiene tiempo, construya la subrutina necesaria para hallar todas las ra´ıces de un polinomio

de Legendre de orden n. Para ello, debe usar la relaci´on de recurrencia y la expresi´on para su derivada

dada en la clase 2. Note que con ello se puede construir la subrutina usada en la cuadratura gaussiana

del listado 2.

2. En este ejercicio podr´a determinar graficar el fractal correspondiente a la funci´on de argumento complejo

f(z) = z5 − 1. Para ello, siga los siguientes pasos.

a) Las ra´ıces de f(z) est´an dadas por z = {ei2n/5}, con n = 0, 1, 2, 3, 4. Expr´eselas en la forma z =

x+iy y almac´enelas en un vector complejo mediante la funci´on intr´ınseca de Fortran z=cmplx(x,y)

b) Cree dos vectores reales x e y (de dimensi´on nx y ny, respectivamente), de modo que todas

las combinaciones z = x + iy cubran una regi´on lo suficientemente amplia del plano complejo

[xmin,xmax]×[ymin,ymax], como para que todas las ra´ıces anteriores queden dentro.

c) Mediante el mismo m´etodo de Newton-Raphson desarrollado en el ejercicio anterior, pero cambiando

todas las variables reales a complejas, determine a que valores convergen cada uno de los

nx × ny valores posibles de z = x + iy (es decir, cada z ser´a el valor inicial en el m´etodo de

Newton).

d) Asigne un ´ındice entero c 2 [1, 5] a cada uno de los pares (x, y), dependiendo de la ra´ız de f(z) a

la cual converja z = x+ iy. Si para un cierto valor de z no hay convergencia a un valor particular

(despu´es de un m´aximo dado de iteraciones) asigne otro valor (0, por ej.).

e) Guarde en un archivo las tres columnas x, y, c, separadas por bloques del sgte modo:

do i=1,nx

do j=1,ny

...(calculos)

write (1,’(3f14.7)’) x(i),y(j),real(c)

write(1,’(a)’)

enddo

f ) La matriz de ´ındices enteros c se puede considerar como una funci´on de dos variables reales

c = c(x, y). Para una buena visualizaci´on, efect´ue un gr´afico de contorno de dicha funci´on en

gnuplot, mediante las instrucciones

set pm3d map

splot ’archivodatos.dat’

g) Explore c´omo cambia el fractal anterior al considerar otras funciones del tipo f(z) = zn − 1, para

distintos n.

PMS/pms 1/2 29/11/2011

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3. Implemente la interpolaci´on de Lagrange, para un polinomio de orden arbitrario. Con dicho algoritmo,

realice las sgtes. actividades:

a) Interpole la funci´on de Runge f(x) = 1/(1 + 25x2) para polinomios de orden n = 2, 5, 7, 9, graficando

la funci´on y sus respectivas interpolaciones en el mismo gr´afico, suponiendo conocidos un

n´umero peque˜no de puntos totales N. Como podr´a apreciar en ellos, el problema de oscilaci´on en

los bordes para polinomios de alto orden se denomina fen´omeno de Runge

b) Explore c´omo cambian las interpolaciones al efectuarla con distintas cantidades totales de puntos

N.

c) Interpole una funci´on sinusoidal f(x) = sin(x), suponiendo conocidos N puntos en un

...