Los problemas de optimización de funciones

1.4 Justificación

....La falta de material, la complejidad de algunos textos que aún así no presentan suficientes ejemplos.

.

1.5 Alcances y Limitaciones

Se ejemplificarán y aplicarán los métodos aprendidos en clase,

Una limitación es que los ejemplos son de máximo 2 variables independientes. Sin embargo, salvo la complejidad en los cálculos, los procedimientos se pueden aplicar sin restricción para mayor número de variables.

Capítulo 2

Marco Teórico

2.1 Antecedentes

Los problemas de optimización de funciones de una o mas variables se presentan no sólo en problemas de ingeniería sino también en asuntos relacionados con actividades cuotidianas especialmente relacionadas con la economía.

Algunos de estos problemas son:

a) Cálculo de costos, en donde se desea maximizar una ganancia o minizar costos. En general ambos aspectos son importantes.

b) Cálculo de distancias mínimas entre una trayectoria y un punto o problemas similares

c) Cálculo de cantidades producidas, ya sean unidades, peso u otra medida de producción, cumpliendo ciertas restricciones respecto de los insumos

2.2 Bases Teóricas

Máximo y Mínimo relativos

Para calcular valores máximos o mínimos locales de una función de una variable, es común:

2. Calcular la 1ra. derivada

3. Igualar la 1ra. derivada a 0 y a partir de allí, calcular los “puntos críticos”

4. Calcular la 2da. derivada en los puntos críticos

a) Si la segunda derivada es positiva en el punto crítico, la función tiene un valor “mínimo local” en tal punto.

b) Si la 2da. derivada es negativa, en tal punto crítico, la función alcanza un “máximo local” en tal punto.

c) Si la segunda derivada es igual a 0, en el punto crítico, el punto es un punto de “inflexion”.

Los gráficos ejemplifican los casos:

(a) (b) (c)

Aún en los casos a) y b), para calcular máximos o mínimos “globales”, hay que comparar los valores máximos y mínimos “locales”, hallados antes, con los valores de la función en los extremos del intervalo ya que podrían presentarse situaciones como se muestra en el siguiente gráfico:

a b

en donde los máximos o mínimos locales, en el interior del intervalo a,b no son máximos o mínimos globales, los cuales en este caso se encuentran en los extremos a y b. En tales puntos, no sucede que f’(a) = 0 o f’(b) = 0. La condición f’(x) = 0 no garantiza “siempre” que el punto sea un mínimo o un máximo local, tal como sucede en los puntos de inflexión. Por ello se dice que la condición f’(x) = 0 no es una condición suficiente, pero si necesaria, bajo ciertas condiciones de diferenciabilidad en el interior del intervalo (que la primera derivada exista y sea continua).

Esta distinción entre condiciónes necesarias y suficientes, es fundamental en toda investigación.

Pese a ello, en la práctica, los métodos de optimización comienzan buscando los puntos en los cuales se cumple la condición necesaria f´(x) = 0, para concluir posteriormente, aún sin utilizar la segunda derivada que el punto es de máxima o de mínima, como lo ejemplificaremos más adelante, comparando por ejemplo los valores de la función en los puntos críticos y por último comparándolos con valores de la función en la “frontera” del dominio, o sea, en el caso de una variable, en los extremos del intervalo.

Partiendo

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