Maximizacion con restricciones de igualdad

Maximización con Restricciones de Igualdad

En la mayor parte de los problemas económicos no todos los valores de las variables que contempla una función objetivo son factibles. Por ejemplo, en muchas situaciones es necesario que las variables sean positivas, tal es el caso del problema que afronta el productor que elige el nivel de producción que maximiza las ganancias, o sea que una producción negativa no tendría sentido. Asimismo, las variables pueden estar restringidas por cuestiones económicas, como cuando un individuo elige los artículos que consumirá, no puede elegir las cantidades que desea, por lo que sus elecciones están restringidas por el monto del poder adquisitivo que posee (restricción presupuestaria). Dado lo anterior, se deduce que estas restricciones pueden reducir el valor máximo de la función que se quiere maximizar.

Un problema de maximización con restricciones de igualdad consiste en optimizar una función objetivo de  variables, , sujeta a  condiciones :[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

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Un método generalmente utilizado para la resolución de estos problemas es el método de los multiplicadores de Lagrange, cuya esencia es convertir un problema de extremos restringidos a una forma tal que todavía sea aplicable la condición de primer orden del problema de extremo libre. De forma general, el lagrangiano se plantea de la siguiente forma:

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Donde los  son escalares desconocidos que se denominan multiplicadores de Lagrange (precios sombras). En el punto óptimo todas las derivadas parciales de una función deben de ser iguales a cero, por lo cual se procede a buscar un extremo para  planteando las condiciones de primer orden, de tal forma que se aplican las derivadas parciales respecto a las  variables y los  multiplicadores de Lagrange,   y  . Al obtener todas las condiciones de primer orden se forma un sistema de  ecuaciones con  incognitas, cuya solución nos lleva a los valores óptimos para cada variable , los cuales maximizan la función objetivo .[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

Otros métodos alternativos para la solución de problemas de maximización con restricciones de igualdad son los métodos tradicionales de sustitución y de reducción de variables; cabe mencionar que estos pueden complicarse en dependencia de la cantidad y forma de las funciones que se presentan en un determinado problema.

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