Aportaciones de Bernhard Riemann y David Hilbert

Ensayo: Bernhard Riemman y David Hilbert

Yaliz Carrasquillo Santana

Universidad Interamericana de Puerto Rico, Recinto de Arecibo

Departamento de Ciencias y Tecnología

Prof. Héctor W. Pagán Román

GEMA 1002

30 de enero de 2023

        Europa siempre ha sido un continente en donde han abundado diferentes pensadores y teóricos de muchas disciplinas, los cuales han ayudado a hacer del mundo un mejor lugar para vivir, congeniar y compartir. Sin querer entrar en discusión respecto a por qué existen demasiados pensadores europeos con determinada influencia en la actualidad, la realidad del asunto es que Alemania se presenta como uno de los países que mayor número de pensadores ha producido. De esta forma, son varios los pensadores que han nacido en diferentes regiones de Europa, aunque también vale la pena recalcar que la geografía, las guerras y las disputas políticas han causado que nacer en determinado lugar no significa ser de determinado lugar. No obstante, los europeos pueden vanagloriarse de tener entre sus coterráneos a dos de los mayores contribuidores al desarrollo de las matemáticas durante el siglo XIX, concretamente en las figuras de Bernhard Riemann y David Hilbert. En base a lo anterior, las siguientes líneas abundan en las aportaciones de estos pensadores a la disciplina de las matemáticas, así como su utilidad en el mundo actual.

        En primer lugar, Bernhard Riemann nace en Alemania en 1826 y muere en Italia en 1866. Concretamente, se le conoce por ser un matemático que realizó contribuciones muy importantes al análisis y la geometría diferencial, algunas de las cuales simplificaron el camino para el desarrollo más avanzado de la relatividad general. Tanto fue su impacto en la disciplina de las matemáticas, que se conoce por ser el creador de una diversidad de elementos o figuras matemáticas, entre las que se encuentran las siguientes: las métricas de Riemann, el tensor de Riemann, el teorema de la aplicación de Riemann y otros muchos conceptos que honran su nombre (Chamizo y Timón, 2019).

        Uno de los principales logros de Riemann, aunque a su vez uno de los más misteriosos y menos entendidos, tiene que ver con su famosa hipótesis. Esta hipótesis se encuentra en una memoria publicada en 1859, en donde el matemático alemán introduce una función, llamada ζ, definida sobre los números complejos. Como sostienen Chamizo y Timón (2019), la importancia de esta función es que contiene y estructura información acerca de la distribución de los números primos. Esta hipótesis todavía no ha podido ser resuelta o probada por ningún investigador y es considerada uno de los problemas matemáticos del milenio. Tan alta es la complejidad de la hipótesis de Riemann, que se ofrece una alta recompensa para aquel individuo que logre probar la hipótesis, aunque esto ha sido imposible con el transcurrir de los años. La hipótesis de Riemann, en palabras simples y concretas para el lector, se trata sobre una ecuación con la que se pueden descubrir todos los números primos del universo, incluidos aquellos que no pueden expresarse como el producto de otros dos números (López, 2020).

Además de su trabajo en geometría y la afirmación de una hipótesis que no ha podido ser probada, Riemann hizo contribuciones básicas a la teoría de las funciones de una variable compleja, a la física matemática y a la teoría de números. A su vez, en la rama de las matemáticas conocida como análisis real, la integral de Riemann, creada por el matemático alemán en un artículo publicado en 1854, fue la primera definición rigurosa de la integral de una función en un intervalo. Él fue quien permitió calcular las integrales a partir de la definición como un límite de sumas (López, 2020). Otro de los conceptos desarrollados por Riemann es lo que se conoce como la Suma de Riemann, la cual se suele emplear para calcular el valor de una integral definida, en otras palabras, el área bajo una curva. Este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo.

Una de las principales obras de Riemann se concreta en La Disertación inaugural, la cual fue publicada en 1854. En esta obra recuperó la cuestión de las geometrías no euclidianas al demostrar por medios analíticos que el problema de la geometría basada en postulados de Euclides estaba vinculado a la curvatura del espacio en el que uno se sitúa.

Aparte de Riemann, otro de los pensadores europeos del siglo XIX que tendría un gran impacto en la disciplina de las matemáticas fue David Hilbert. Este nace en Prusia Oriental en 1862 y fallece en Alemania en 1943. A diferencia de Riemann, el cual falleció a temprana edad, Hilbert vivió hasta los 81 años. Esto le permitió poder desarrollar de una mejor forma su trabajo, no solamente inventando sus propias figuras o conceptos matemáticos, sino también aportando ideas a los pensamientos de otros enfoques y paradigmas teóricos (López, 2019). En concreto, algunas de las contribuciones de Hilbert incluyen las siguientes: la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática; adoptó y defendió la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor; entre otras labores (López, 2019).

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